Calculation of dynamic stress intensity factors in elastic two-dimensional bodies with curvilinear cracks

Розв’язано плоскі динамічні задачі теорії пружності для тіл з гладкими криволінійними тріщинами, на берегах яких діють нормальні та дотичні динамічні навантаження. Застосовано модифікований метод скінченних різниць за часом у поєднанні з методом сингулярних інтегро- диференційних рівнянь за просторовими змінними. Використовуючи фундаментальний розв’язок рівнянь Гельмгольца для плоских задач динамічної теорії пружності, побудовано інтегральні зображення хвильових потенціалів. На їх основі крайову задачу для гладких криволінійних тріщин зведено до послідовного (у кожен вузловий момент часу) розв’язування сингулярних інтегро-диференційних рівнянь. Числові розв’язки інтегральних рівнянь отримано методом механічних квадратур. Обчислено динамічні коефіцієнти інтенсивності напружень для криволінійних тріщин по дугах кола, параболи та півеліпса за нормальних та дотичних ударних навантажень на їх берегах. Проаналізовано вплив форми та кривини контурів тріщини на зміну поведінки коефіцієнтів інтенсивності напружень у часі.A solution method for the dynamic problems of elasticity theory for infinity bodies with smooth curvilinear cracks is developed. The plane dynamic problems of elasticity theory for bodies with smooth curvilinear cracks are solved for the case of normal and tangential dynamic loads at the crack faces. A modified finite difference method with respect to the time variable only in combination with the method of singular integral-differential equations for the space variables is applied. For zero initial conditions the equations of motion are reduced to homogeneous systems of differential equations for determination of displacements at fixed time nodes. For the two-dimensional dynamic problems of the crack theory the efficient solution of these differential equations is obtained by the boundary integral equation method. Using the fundamental solution of the Helmholtz equation for plane problems of elasticity theory the integral representation of the wave potential is built. On this basis the boundary problem for the smooth curvilinear cracks is reduced to the step by step (with respect to the nodal points of time) solution of the singular integral-differential equations. Numerical solutions of this integral equations are obtained by the method of mechanical quadratures. The direct approach to the method of mechanical quadratures for numerical solution of integral-differential equations, in which kernels along with regular components contain singularity of Cauchy and logarithmic singularity was used. This approach allows to use the standard quadrature formulas to calculate the integrals at the unclosed contours without extracting singularities in the integrand kernels. The dynamic stress intensity factors are computed for curved cracks of different configurations (circular, parabolic and semielliptic arcs) for normal and shear impact loads on their faces. The influence of the shape and curvature contours of the crack on the behavior of stress intensity factors in time is analyzed. It was found that the main influence on the behavior of dynamic stress intensity factors is not the relative deflection of the crack contour and its form – especially in the vicinity of the crack tips. In particular cases of the uniformly distributed normal or shear impact loadings at the rectilinear crack faces our results are consistent with the data obtained by the other methods