On range Sobolev spaces defined by Cesàro-Hardy operators

(Para la correcta visualización de fórmulas y lenguaje matemático, es preferible compilar el siguiente texto en un entorno adecuado de edición de TeX o LaTeX)En 1915, G. H. Hardy intentaba encontrar una demostración elemental de la desigualdad de Hilbert. La desigualdad discreta que obtuvo pudo extenderse a la siguiente desigualdad continua:$$\int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt\right)^{p}dx \leq C_{p} \int_{0}^{\infty} f^{p}(x)dx, \qquad f\geq 0,$$que fue enunciada en 1920 \cite{H1} y demostrada en 1925 \cite{H2}. Gran parte del desarrollo inicial de la desigualdad de Hardy puede encontrarse en el libro (clásico) \cite{HLP}, y detalles sobre su historia en ambas formas, discreta y continua, en \cite{KuMP}, por ejemplo.Las generalizaciones y aplicaciones de esta fórmula son destacables. Muchos de los aspectos de su desarrollo pueden encontrarse en \cite{KMP}, \cite{KuMP}, \cite{KuP} y \cite{OK}.La desigualdad\left(\int_0^\infty \left|\frac{1}{t}\int_0^t f(s)ds\right|^p dt\right)^\frac{1}{p}\leq \frac{p}{p-1}\left(\int_{0}^{\infty}f^{p}(t)dt\right)^\frac{1}{p}, \leqno{(1)}que se tiene para $1$\mathcal{C} f(t)=\frac{1}{t}\int_0^t f(s)ds, \quad t> 0, \leqno{(2)}$es un operador acotado en$\LpRma$con$\|\mathcal{C}\| \leq \frac{p}{p-1}$para$10$,$\left(\int_0^\infty \left|\frac{\nu}{t^\nu} \int_0^t (t-s)^{\nu-1} f(s)ds\right|^p dt\right)^\frac{1}{p} \leq \frac{\Gamma(\nu+1)\Gamma(1-\frac{1}{p})}{\Gamma(\nu+1-\frac{1}{p})}\|f\|_p, \qquad f\in\LpRma, \leqno{(3)}$para$1\left(\int_{0}^{\infty} \left\vert\nu\int_{s}^{\infty} \frac{(t-s)^{\nu-1}}{t^\nu} f(t)dt\right\vert^{p}ds\right)^\frac{1}{p} \leq\frac{\G(\nu+1)\G\left(\frac{1}{p}\right)}{\G\left(\nu+\frac{1}{p}\right)}\|f\|_p. \leqno{(4)}La constante \frac{\G(\nu+1)\G\left(\frac{1}{p}\right)}{\G\left(\nu+\frac{1}{p}\right)} tambi\'{e}n es \'{o}ptima para esta desigualdad.De manera natural, las desigualdades (3) y (4) sugieren definir operadores acotados de \LpRma en \LpRma, que denotaremos, para f\in\LpRma, por\calC_\nu(f):=\frac{\nu}{t^\nu}\int_0^t (t-s)^{\nu-1}f(s) ds, \quad \hbox{ si } 1y\calC_\nu^*(f):=\nu\int_t^\infty \frac{(s-t)^{\nu-1}}{s^\nu}f(s) ds, \quad \hbox{ si } 1\le pPara $\nu=1$, los operadores \calC_1=\calC o \calC_1^*=\calC^{*}, o sus análogos discretos, han recibido diferentes nombres. Como ejemplo, son llamados operadores de Hardy en \cite{KuMP}, \cite{DS}, operadores de Cesàro en \cite{BHS}, \cite{Bo}, \cite{Mo1}, \cite{Mo2}, operadores de Copson en \cite{Mo1}, \cite {Mo2}, entre otros art\'{i}culos. Hay tambi\'{e}n versiones de los anteriores operadores en el plano complejo, incluso en el caso generalizado; v\'{e}ase \cite{AS}, \cite{LMPS}. El estudio de tales operadores se centra habitualmente en problemas sobre su acotaci\'{o}n en diversos espacios, espectro, interpolaci\'{o}n, dominio \'{o}ptimo, estudio de las isometr\'{i}as asociadas\dots (v\'{e}ase por ejemplo \cite{AP}, \cite{DS}, \cite{BS1}, \cite{BS2}). Aqu\'{i} llamaremos a \calC_\nu, \calC_\nu^* operadores de Ces\`aro-Hardy. Estamos interesados en espacios rango de esos operadores integrales, dotados con la norma imagen de los espacios $L_p$, y centr\'{a}ndonos de forma m\'{a}s precisa en el caso Hilbert. La motivaci\'{o}n para este enfoque es doble: por un lado surge de las conexiones que estos operadores tienen con la integrodiferenciaci\'{o}n fraccionaria, y por otro lado de su relaci\'{o}n con el movimiento Browniano fraccionario o con el ruido blanco.En el estudio de las ecuaciones abstractas de Cauchy ``mal planteadas'', es decir, cuando la soluci\'{o}n de la ecuaci\'{o}n no viene regida por un $C_0$-semigrupo, son relevantes familias como los $C$-semigrupos o los semigrupos integrados, y homomorfismos como semigrupos de distribuciones. En \cite{AK} se consideran semigrupos de distribuciones temperadas que tienen como dominios \'{a}lgebras de convoluci\'{o}n \TT_1^{(n)}(t^n) -en una notaci\'{o}n diferente a la que aparece en \cite{AK}- definidas, para n\in\NN, como la completaci\'{o}n del espacio de funciones test C_c^\infty(\Rma) en la norma$$\Vert f\Vert_{1,(n)}:=\int_0^\infty\vert f^{(n)}(t)\vert t^n\ dt$$(Álgebras similares en toda la recta real $\mathbb{R}$ han sido introducidas en \cite{BE}). El \'{a}lgebra de Banach \TT_1^{(n)}(t^n) admite una extensi\'{o}n a orden de derivaci\'{o}n fraccionario $\nu>0$ considerando cierta derivada fraccionaria (denotada por $W^\nu f$) en lugar de la derivada habitual $f^{(n)}$; v\'{e}anse \cite{Mi1} y \cite{GM}. Esta extensi\'{o}n, denotada por \TT_1^{(\nu)}(t^\nu), es tambi\'{e}n un \'{a}lgebra de Banach de convoluci\'{o}n con numerosas aplicaciones relacionadas con c\'{a}lculos funcionales, semigrupos integrados y teor\'{i}a de cuasi multiplicadores regulares, v\'{e}ase \cite{GM}. Propiedades espec\'{i}ficas o aplicaciones de \TT_1^{(\nu)}(t^\nu) como \'{a}lgebra de Banach han aparecido en numerosos art\'{i}culos, entre ellos \cite{GMR1}, \cite{GMR2}, \cite{GMS}, \cite{GS}. Si reemplazamos la norma $L_1$ de $t^{n}f^{(n)}$ por la norma $L_{p}$, con $1Por otra parte, estas ideas se aplican en problemas abstractos de Cauchy locales, a saber, problemas del tipo$\begin{cases} \displaystyle{ u^\prime(t)} = A u(t)+x,\, 0\le t u(0)=0\\ \end{cases} \leqno{(6)}$donde$A$es un operador lineal cerrado en un espacio de Banach$X$y$\tau>0. Es conocido (véase \cite[Theorem 2.1]{AEK} o \cite[Theorem 3.1]{V}) que si para todo x\in X$el problema tiene solución única$u\in C^1([0,\, \tau), X)\cap C([0,\, \tau), D(A))$(donde$D(A)$se dota con la norma del grafo), entonces$A$es el generador de un semigrupo fuertemente continuo. Esto significa que las soluciones, inicialmente obtenidas en$[0,\tau),$admiten extensiones a$[0,\infty)$sin pérdida de regularidad y, más aún, son (uniformemente) exponencialmente acotadas.Resulta que el espacio$\TT_p^{(\nu)}(t^\nu)$puede ser obtenido, de forma alternativa, como espacio rango o imagen del operador$\calC_\nu^*$con dominio en$L_p(\Rma)$, con lo que$\calC_\nu^* puede ser entendido bajo el punto de vista que dan la integrodiferenciaci\'{o}n fraccionaria. Además, integrales y derivadas fraccionarias tienen aplicación en la teor\'{i}a del movimiento Browniano fractal (fBm por sus siglas en inglés) y sistemas autosimilares (v. g., \cite{FP}, \cite{Hu}, \cite{M}, \cite{SL}), con lo que los operadores de Ces\`aro-Hardy y los espacios de Hilbert que definen, es decir \TT_2^{(\nu)}(t^\nu)$,$\nu>0$, se insertan de esta manera en esa teoría. La acci\'{o}n de la transformada de Laplace sobre$\TT_2^{(\nu)}(t^\nu)$da lugar a un espacio de Hilbert de funciones holomorfas en el semiplano$\Cma:=\{z\in\CC:\Re z>0\}$que admite una descripci\'{o}n sencilla y podr\'{i}a ser un modelo adecuado para tratar con el fBm de tipo Riemann-Liouville. La estructura de la memoria de tesis es como sigue. En el Capítulo 1 presentamos los operadores de Cesàro-Hardy$\calC_{\nu}$,$\calC_{\nu}^*$($\nu>0$) y los usamos para definir los espacios$\TT_p^{(\nu)}(t^\nu)$. Nos centramos en la relaci\'{o}n de estos operadores con la integrodiferenciaci\'{o}n fraccionaria y otras interesantes propiedades que tienen que ver con la transformada de Laplace$\LL$. Una herramienta \'{u}til en este contexto es la expresi\'{o}n de los operadores como una caso particular de subordinaci\'{o}n a un cierto grupo de isometr\'{i}as,$(T_{p}(t))_{t\in\RR}$.Tras haber definido los espacios, es natural preguntarse por la acotaci\'{o}n, representaci\'{o}n como operadores resolvente y propiedades espectrales de los operadores de Ces\`{a}ro-Hardy generalizados$\calC_\nu$y$\calC_\nu^*$actuando en los subespacios de Sobolev$\TT^{(\nu)}_{p}(t^\nu)$. Respondemos a algunas preguntas sobre esos temas en el Cap\'{i}tulo 2, tambi\'{e}n para los espacios$\TT^{(\nu)}_{p}(|t|^\nu)$en toda la recta$\RR$, definidos a partir de$\TT^{(\nu)}_{p}(t^\nu)$.Despu\'{e}s, en el Cap\'{i}tulo 3, nos centramos en el caso$p=1$y estudiamos el comportamiento del álgebra$\TT_1^{(\nu)}(t^\nu\w)$, donde$\w$es una funci\'{o}n peso, analizando semejanzas y diferencias con el caso$L_{1}(\omega)$: damos el espectro, la transformada de Gelfand y el espacio de caracteres de$\TT_1^{(\nu)}(t^\nu\w)$en el caso semisimple y estudiamos un \'{a}lgebra de Banach de tipo radical definida como \'{a}lgebra cociente. Describimos esta \'{u}ltima \'{a}lgebra como un \'{a}lgebra de funciones y analizamos sus ideales cerrados y derivaciones.En el Cap\'{i}tulo 4 estudiamos el caso Hilbert,$p=2$. Resulta que$\TT_2^{(\nu)}(t^\nu)$es un espacio de Hilbert de n\'{u}cleo reproductivo (RKHS, abreviadamente). Determinamos su n\'{u}cleo y revisamos algunos aspectos de la teor\'{i}a general de RKHS para$\TT_2^{(\nu)}(t^\nu)$, destacando una aparente relaci\'{o}n entre este espacio y los espacios que surgen asociados al movimiento Browniano fractal en teor\'{i}a de la probabilidad. Esta relaci\'{o}n se describe parcialmente en la Secci\'{o}n 4.2, en conexi\'{o}n con el c\'{a}lculo fraccionario de Riemann-Liouville.Para$1\leq p 1/2$sino para todo$\nu>0$, y su n\'{u}cleo reproductivo$K_\nu$puede expresarse en forma integral. El resultado tipo Paley-Wiener y la f\'{o}rmula para el n\'{u}cleo se dan en el Teorema 4.3.2. En la Secci\'{o}n 4.4 se demuestra que la funci\'{o}n$K_{\nu,z}:=K_\nu(\cdot, z)$satisface la equivalencia$\Vert K_{\nu,z}\Vert_{2,(\nu)}\sim \vert z\vert^{-1/2}$,$z\in\Cma$, salvo constantes de acotaci\'{o}n. Esta equivalencia (o acotaci\'{o}n) es en cierta forma sorprendente, porque las acotaciones habituales de las normas de los n\'{u}cleos$\kappa(x,y)$en los ejemplos cl\'{a}sicos de funciones holomorfas en dominios$\Omega$suelen involucrar la distancia a la frontera del dominio$\Omega$del punto$y\in\Omega$, con$\kappa_y:=\kappa(\cdot,y)$, mientras que$\Vert K_{\nu,z}\Vert_{2,(\nu)}$depende de la distancia {\it radial} de$z$, es decir, de$z$al origen, en$\Cma$. Hemos considerado el operador$\calC_\nu^*$restringido a$\LiiRma$y su rango (o imagen)$\TT_2^{(\nu)}(t^\nu)$, como el medio para mostrar las relaciones de los operadores de Ces\`aro-Hardy con el c\'{a}lculo fraccionario y el movimiento Browniano. Esta elecci\'{o}n ha estado motivada por la fruct\'{i}fera relaci\'{o}n de los espacios$\TT_2^{(\nu)}(t^\nu)$con las ecuaciones abstractas de Cauchy y sus familias asociadas de operadores. Como alternativa, podr\'{i}amos haber elegido tomar el operador$\calC_\nu$y su rango$\calC_\nu(\LiiRma)$e intentar un tratamiento similar. El cap\'{i}tulo termina con la Secci\'{o}n 4.5, donde se muestra que$\TT_2^{(\nu)}(t^\nu)=\calC_\nu(\LiiRma)$, lo cual, en vista de las buenas y simples propiedades de los espacios$\TT_2^{(\nu)}(t^\nu)$y$H_2^{(\nu)}(\Cma)$vistas en las secciones previas, sugiere la pregunta de si las operaciones de promedio fraccionario, como$\calC_\nu$hace, podr\'{i}an ser de utilidad en la teor\'{i}a Browniana.Para finalizar la memoria de la tesis, en el Cap\'{i}tulo 5 abordamos varias cuestiones sobre c\'{o}mo generalizar los operadores y los espacios rango considerados previamente. Primero estudiamos la acotaci\'{o}n de operadores de Ces\`{a}ro-Hardy generalizados$\calC_{\k}$, que escribimos utilizando producto de convoluci\'{o}n$\ast$,$\calC_{\k}(f)=\frac{1}{\chi_{(0,\infty)}\ast \k} f \ast \k$y nos preguntamos sobre qu\'{e} condiciones deben cumplir esas funciones$\k$para dar lugar a operadores acotados (se recupera el operador generalizado cl\'{a}sico para la funci\'{o}n$\k(t)=\fr_{\nu}(t):=t^{\nu-1}/\G(\nu)$). Como consecuencia, se definen espacios rango correspondientes a esos operadores$\calC_{\k}^\ast$, resultando ser m\'{o}dulos de Banach con respecto a las correspondientes \'{a}lgebras de Banach, generalizando resultados previamente enunciados.En la segunda parte del \'{u}ltimo cap\'{i}tulo nos centramos en los rangos de los operadores$\calC_{\k}^\ast$para establecer un marco de trabajo con aplicaciones a los problemas abstractos de Cauchy. Definimos homomorfismos de \'{a}lgebras desde una nueva clase de funciones test y aplicamos nuestros resultados a operadores concretos. Se introduce la noción de semigrupos de$\k$-distribuci\'{o}n para extender conceptos previos de semigrupos de distribuciones y para generalizar una f\'{o}rmula de tipo Duhamel. Con estas herramientas, se obtiene un teorema sobre extensión de soluciones locales$\k-convolucionadas (véase Teorema 5.2.17).\begin{thebibliography}{99}\bibitem[AEK]{AEK} W. Arendt, O. El-Mennaoui and V. Keyantuo: `Local integrated semigroups: Evolution with jumps of regularity', \textit{J. Math. Anal. Appl.} \textbf{186} (1994), 572--595. \bibitem[AK]{AK} W. Arendt and H. Kellerman: `Integration solutions of Volterra integro-differential equations and applications' in: \textit{Volterra Integrodifferential equations in Banach spaces and applications (Trento, 1987)}, Pitman Res. Notes Math. Ser., 190 (eds. G. Da Prato and M. Iannelli) Longman Sci. 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