The escaping set of the exponential

We show that the points that converge to infinity under iteration of the exponential map form a connected subset of the complex plane.Comment: 5 pages, 1 figur

A sharp growth condition for a fast escaping spider's web

We show that the fast escaping set $A(f)$ of a transcendental entire function $f$ has a structure known as a spider's web whenever the maximum modulus of $f$ grows below a certain rate. We give examples of entire functions for which the fast escaping set is not a spider's web which show that this growth rate is best possible. By our earlier results, these are the first examples for which the escaping set has a spider's web structure but the fast escaping set does not. These results give new insight into a conjecture of Baker and a conjecture of Eremenko

Escape rate and Hausdorff measure for entire functions

The escaping set of an entire function is the set of points that tend to infinity under iteration. We consider subsets of the escaping set defined in terms of escape rates and obtain upper and lower bounds for the Hausdorff measure of these sets with respect to certain gauge functions.Comment: 24 pages; some errors corrected, proof of Theorem 2 shortene

Are Devaney hairs fast escaping?

Beginning with Devaney, several authors have studied transcendental entire functions for which every point in the escaping set can be connected to infinity by a curve in the escaping set. Such curves are often called Devaney hairs. We show that, in many cases, every point in such a curve, apart from possibly a finite endpoint of the curve, belongs to the fast escaping set. We also give an example of a Devaney hair which lies in a logarithmic tract of a transcendental entire function and contains no fast escaping points.Comment: 22 pages, 1 figur

Mittelalterrezeption in der Oper der Jahrhundertwende

Ohne Richard Wagners Tristan, Parsifal oder den Ring des Nibelungen hätte es vermutlich keine derart stark ausgeprägte Mittelalterrezeption in der Oper des späten 19. und beginnen-den 20. Jahrhunderts gegeben. Dennoch tragen noch weitere historische und geistesgeschicht-liche Umstände dazu bei, dass es um 1900 zu einer Blütezeit der Mittelalteropernproduktion kommt. Diese Arbeit befasste sich mir einer Mittelalteropern aus dieser Zeit, die wie Wagners Musikdramen auf einem literarischen Text des Mittelalters als Vorlage basiert und nicht auf historischen Ereignissen oder Figuren. Mit Hartmanns von Aue Versepos Der arme Heinrich wählen Hans Pfitzner und James Grun für ihre Oper gemessen an der Bandbreite der Rezepti-on einen der erfolgreichsten Texte des deutschen Mittelalters. Der arme Heinrich eignet sich auf den ersten Blick ausgezeichnet für eine Opernbearbeitung. Die Geschichte der spektakulä-ren Aussatzheilung verfügt über hohes dramatisches Potenzial. Dennoch zeigt sich bereits am großen Variantenreichtum der Überlieferung das erzähllogische Problem des Textes Hart-manns von Aue, der in allen Versionen kein wirklich überzeugendes Ende findet. Pfitzner betrachtet den Stoff des siechenden Helden, der nur durch das Opfer einer Jungfrau gerettet werden könne als ein zeitloses Handlungsschema. Die Motive der Handlung als Gleichnis von etwas anzusehen, „was unter großen Menschen jederzeit sich in irgendeiner Form abspielen kann“. Das Mittelalter als Epoche dient damit nur als Kulisse für die Vor-gänge. Stattdessen lassen Pfitzner und Grun zeitgenössische literarische und philosophische Traditionen in die Konzeption des Librettos einfließen. „Im Kostüm des Mittelalters die Ge-dankenwelt Schopenhauers und Wagners Gestalt angenommen“, schreibt Jens Malte Fischer über die Rezeption des Armen Heinrichs in der Oper. Die Handlung wird dabei auf eine Dichotomie aus Leben und Leiden konzentriert. Während bei Hartmann die Krankheit Heinrichs als eine göttliche Strafe oder in Anlehnung an den biblischen Hiob vielmehr eine Prüfung ist, scheint sie bei Pfitzner und Grun eine Be-stätigung der Lehren Schopenhauers vom unausweichlichen Leiden in der Welt zu sein. Den-noch wird versucht auch die christlichen Vorstellungen des Hartmannschen Textes in das Lib-retto zu übernehmen, wobei im Kontrast zu Schopenhauers Soteriologie unweigerlich ein Spannungsverhältnis entsteht. Religiöse Elemente werden darüber hinaus in beiden Werken, im Versepos und in der Oper zum Erzeugen einer bestimmten Ästhetik verwendet. Bei Hart-mann, um einen Wiederkennungswert bei den Lesern respektive Hörern zu generieren und ihnen eine Anleitung zur Bewertung des Verhaltens zu geben sowie um sein eigene theologi-sche Bildung unter Beweis zu stellen. In der Oper dient die Verlagerung des Handlungsortes in ein Kloster, die Aufladung mit religiöser Symbolik und der Mönchschor wieder als Kulisse der Handlung zur. Christliche Aspekte werden hier gepaart mit einer kultisch anmutenden Schauerromantik. Bei Hartmann ist Heinrich der klare Protagonist der Handlung, er wird als einziger namentlich genannt. Im Laufe der Handlung durchläuft er mehrere Erkenntnisprozesse, die schließlich dazu führen, dass er die Krankheit als Prüfung Gottes akzeptiert und sein Leben in dessen Hand überantwortet. Die Schönheit und Reinheit des Opfers lässt ihn erkennen, dass ihr Le-ben einen höheren Wert habe als seines und auf die Heilung verzichten. Die Opernhandlung konzentriert sich auf die Figur der Agnes als Erlöserin und setzt sie damit in Verbindung zu anderen weiblichen Erlöserfiguren der Operngeschichte, wie Wagners Senta aus dem Hollän-der. Durch diese Reduzierung der Figur auf ihre Rolle als Medium der Vermittlung zur Gene-sung verliert Agnes Handlungsräume, die Hartmanns Mädchen offen waren. Durch die Beto-nung auf ihrer Kindlichkeit in der Oper, wird Agnes jegliche erotische Anziehungskraft ge-nommen. Die sinnliche Weiblichkeit des Mädchens bei Hartmann, wird Agnes in der Oper abgesprochen. Eine ambivalente Bewertung des Charakters ist hier ebenfalls nicht mehr mög-lich, sie wird zur Heiligen verklärt. Statt der Warnung vor übersteigerter Spiritualität, die sich im Hartmannschen Text als didaktische Konzeption hinter der Figurengestaltung des Mäd-chens vermuten lässt, findet in der Oper eine Affirmierung dieser statt. Die Frau wird zum spirituellen Gefäß und Medium objektiviert. Der mittelalterliche Text lässt der Frauenfigur deutlich mehr Entfaltungsraum als die Oper. Das Problem des Erzählendes wird auch in der Oper nicht zufriedenstellend gelöst