Intersections on tropical moduli spaces

This article explores to which extent the algebro-geometric theory of rational descendant Gromov-Witten invariants can be carried over to the tropical world. Despite the fact that the tropical moduli-spaces we work with are non-compact, the answer is surprisingly positive. We discuss the string, divisor and dilaton equations, we prove a splitting lemma describing the intersection with a "boundary" divisor and we prove general tropical versions of the WDVV resp. topological recursion equations (under some assumptions). As a direct application, we prove that the toric varieties $\mathbb{P}^1$, $\mathbb{P}^2$, $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ and with Psi-conditions only in combination with point conditions, the tropical and classical descendant Gromov-Witten invariants coincide (which extends the result for $\mathbb{P}^2$ in Markwig-Rau-2008). Our approach uses tropical intersection theory and can unify and simplify some parts of the existing tropical enumerative geometry (for rational curves).Comment: 40 pages, 17 Postscript figures; updated to fit the published versio

The tropical Poincar\'e-Hopf theorem

We express the beta invariant of a loopless matroid as tropical self-intersection number of the diagonal of its matroid fan (a "local" Poincar\'e-Hopf theorem). This provides another example of uncovering the "geometry" of matroids by expressing their invariants in terms of tropicalised geometric constructions. We also prove a global Poincar\'e-Hopf theorem and initiate the study of a more general tropical Lefschetz-Hopf trace formula by proving the two special cases of tropical curves and tropical tori.Comment: 27 pages, 3 figure

The dimension of an amoeba

Answering a question by Nisse and Sottile, we derive a formula for the dimension of the amoeba of an irreducible algebraic variety.Comment: 8 pages, several small improvements, final versio

Nachhaltige Wirkung von Ölrettich auf die Abundanzdynamik von Wurzelgallennematoden im ökologischen Landbau

Der Wurzelgallennematode Meloidogyne hapla ist einer der bedeutendsten Schaderreger im ökologischen Landbau. Direkte Bekämpfungsmaßnahmen oder resistente Sorten stehen nicht zur Verfügung, so dass eine Bekämpfung derzeit nur über die Fruchtfolge möglich ist. Während im Vorläufer-Projekt (02OE107) die Einsatzmöglichkeiten von Ölrettich (Raphanus sativus) als Zwischenfrucht bzw. Fangpflanze zur Bekämpfung von M. hapla aufgezeigt wurden, sollte in dem vorliegenden Forschungsvorhaben die Wirksamkeit dieser Maßnahmen auf den Ertrag von Kartoffeln als Folgekultur untersucht werden. Da neben M. hapla auf den Versuchsflächen zusätzlich Pratylenchus spp. auftrat, wurde diese Nematodengattung bei den Untersuchungen mit berücksichtigt. Unter den Anbaubedingungen des Jahres 2004 kam es zu keiner Vermehrung von M. hapla an Kartoffeln, obwohl Klimabedingungen und Kulturdauer grundsätzlich förderlich waren. Möglicherweise liegt hier ein ausgeprägte Sortenabhängigkeit gegenüber M. hapla zugrunde und 'Linda' bzw. 'Solara' zählen zu den wenig anfälligen Sorten. Im Gegensatz zu M. hapla konnte sich Pratylenchus spp. an beiden Kartoffelsorten gut entwickeln. Die Vermehrungsraten lagen zwischen 2,3 und 8,4. Im Kartoffelertrag zeigten sich auf beiden Versuchsflächen keine Unterschiede in Abhängigkeit der Vorkultur. Andere Faktoren, wie z. B. die Nährstoffwirkung der Vorfrucht, haben eine mögliche Schädigung durch pflanzenparasitäre Nematoden vermutlich überlagert. Die Untersuchungen haben aber auch gezeigt, dass die Ölrettichsorte 'Commodore' den Wurzelgallennematoden M. hapla signifikant weniger vermehrt als die Ölrettichsorte 'Siletina', so dass 'Commodore' auf Befallsflächen bevorzugt angebaut werden sollte. Den besten Bekämpfungserfolg von M. hapla hatte die Brache. Dies ist aber wenig ökologisch, so dass geeignete Alternativen zu entwickeln sind. Eine Alternative ist der Anbau von Ölrettich als Fangpflanze. In dem vorliegenden Forschungsvorhaben wurde der Ölrettich in 2003 allerdings zu spät umgebrochen und zeigte keine optimale Wirkung. Innerhalb weiterführender Untersuchungen in 2004 konnten jedoch Bekämpfungsraten bis zu 97 % erzielt werden, was das grundsätzliche Funktionieren dieses Verfahrens hervorhebt