Invariant means on Banach spaces

In this paper we study some generalization of invariant means on Banach spaces. We give some sufficient condition for the existence of the invariant mean and some examples where we have not it

Some generalization of Cauchy’s and Wilson’s functional equations on abelian groups

We find the solutions f, g, h: G → X, α: G → K of the functional equation λ∈K f(x + λy) = |K|g(x) + α(x)h(y), x,y∈ G, where (G, +) is an abelian group, K is a finite, abelian subgroup of the automorphism group of G,X is a linear space over the field K ∈ {R,C}

A note on functional equations connected with the Cauchy mean value theorem

The aim of this paper is to describe the solution (f, g) of the equation [f(x)-f(y)]g′(αx+(1-α)y)=[g(x)-g(y)]f′(αx+(1-α)y),x,y∈I,where I⊂ R is an open interval, f, g: I→ R are differentiable, α is a fixed number from (0, 1)

A note on the orthogonality equation with two functions

The aim of this paper is to describe the solution (f, g) of the equation f(x)|g(y) = x|y , x,y∈ D, where f, g : D → Y , X, Y are Hilbert spaces over the same field K ∈ {R,C}, D is a dense subspace of X

Decomposition of two functions in the orthogonality equation

The aim of this paper is to solve the orthogonality equation with two unknown functions. This problem was posed by J. Chmieli´nski during two international conferences

Functions Preserving the Biadditivity

In this paper we consider the generalization of the orthogonality equation. Let S be a semigroup, and let H,X be abelian groups. For two given biadditive functions A: S2 → X, B: H2 → X and for two unknown mappings f, g : S → H the functional equation B(f(x), g(y)) = A(x, y) will be solved under quite natural assumptions. This extends the wellknown characterization of the linear isometry

Wspólne uogólnienie równania funkcjonałów kwadratowych i równania Wilsona

Praca ta w całości poświęcona jest następującemu równaniu funkcyjnemu ^2 f{x + *V) = \K\oc(y)g(x) + \K\h(y), x,y G 5, (*) A eh' gdzie (S, +) jest półgrupą abelową, K jest skończoną podgrupą grupy automorfizmów S, symbolem \K\ oznaczamy liczbę elementów grupy K, X jest przestrzenią liniową nad ciałem K G {M, C} oraz f ,g,h: S —► X, a : S —► K. Inspiracja do badania równania (*) płynie z wielu źródeł. W teorii funkcji specjalnych bada się funkcje if-sferyczne (zobacz [35]). Funkcja / : G —> C, / ^ 0, jest funkcją -sferyczną jeśli istnieje taka niezerowa funkcja g : G —* C, że / g{x +Xy)d^(X) = g(x)f(y), x , y eG, Jk gdzie (G, +) jest grupą lokalnie zwartą, a K zwartą podgrupą grupy automorfizmów G z unormowaną miarą Haara /v, (funkcja / spełnia wtedy równanie [ f{x + \y)dfi(X) = f(x)f(y), x,y&G) . J k Równaniu funkcji if-sferycznych poświęcone są m. in. prace W. Chojnackiego [11], H. Stetkaera [33] czy H. Shin’ya, [26]. Równanie (*) jest uogólnieniem równania funkcji /f-sferycznych w przypadku skończonej grupy K. Ponadto równanie (*) jest wspólnym uogólnieniem wielu klasycznych równań funkcyjnych. Biorąc K = {id}, a = l, f = g = h otrzymujemy równanie Cauchy’ego f ( x + y) = f (x) + f(y), x,y £ S, z tym samym K przyjmując f = g = a, h = 0 (X = C) jego wykładniczą wersję f ( x + y) = f{x)f(y), x , y e S . Ogólnie w przypadku K = {id} mamy f ( x + y) = a(y)g(x) + h{y), x,y G S to równanie znajdziemy m. in. w monografii J. Aczela ([1, Theorem 3.1.3.1]). Jeśli S jest grupą, to biorąc K = {id, —id} oraz a = 1, f = g = h równanie (*) redukuje się do równania funkcjonałów kwadratowych f ( x + y) + f{x - y ) = 2f{x) + 2/ ( 2/), x,y e S. Pozostając przy powyższych grupach S i K, przyjmując a = 1, f = g, h = 0 dostajemy równanie Jensena f ( x + y) + f ( x - y ) = 2f(x), x,y € 5, przy a = 1, / = g h(y) = y £ S otrzymujemy równanie Drygasa f ( x + y) + f ( x - y ) = 2 f (x) + f(y) + f ( - y ) , x,y € S, a w przypadku / = g, h = 0 równanie Wilsona f ( x + y) + f ( x - y ) = 2a(y)f(x), x,y e S. Inne szczególne przypadki równania (*) odnajdziemy w pracach W. Fórg-Roba i J. Schwaigera [14] oraz Z. Gajdy [16], gdzie autorzy badali rozwiązania równania J 2 f ( x + Ay) = \K\ f(x)f(y), x , y € G a eK dla funkcji f określonej na grupie przemiennej (G, +) i o wartościach w ciele o charakterystyce nie będącej dzielnikiem liczby \K\. Podobnie w serii prac H. Stetkaera [29], [30], [32] autor badał ciągłe rozwiązania zespolone następujących szczególnych przypadków równania (*) N- 1 f {x + u>ny) = Nf(x)g(y), x, y G C, 71=0 N- 1 ^ 2 f ( x + u]ny) = Ng(x) + Nh(y), x , y €C, 71=0 gdzie u; oznacza pierwiastek stopnia N z jedynki. Celem tej pracy jest podanie pełnego opisu postaci rozwiązań równania (*) czym zajmiemy się w Rozdziale 1. Nasze badania podzielimy na dwa główne przypadki. Pierwszy, gdy a jest funkcją stałą i drugi z niestałą funkcją a. Rozdział 2 w całości poświęcony jest problemowi stabilności równania (*). Podobnie jak poprzednio i tutaj osobno rozpatrujemy przypadek stałej funkcji a i osobno przypadek, gdy funkcja a nie jest stała

Report of Meeting: The Twenty-first Katowice–Debrecen Winter Seminar on Functional Equations and Inequalities Brenna (Poland), February 2–5, 2022

The Twenty-first Katowice–Debrecen Winter Seminar on Functional Equations and Inequalities was held in Hotel Kotarz in Brenna, Poland, from February 2 to February 5, 2022. The meeting was organized by the Institute of Mathematics of the University of Silesia. 11 participants came from the University of Debrecen (Hungary), 7 from the University of Silesia in Katowice (Poland), 2 from the Pedagogical University of Krakow (Poland), 1 from Budapest University of Technology and Economics (Hungary), 1 from the University of Rzeszów (Poland) and 1 with a dual affiliation University of Silesia (Poland) and Chernivtsi National University (Ukraine)

Invariant vector means and complementability of Banach spaces in their second duals

Let X be a Banach space. Fix a torsion-free commutative and cancellative semigroup S whose torsion-free rank is the same as the density of X∗∗. We then show that X is complemented in X∗∗ if and only if there exists an invariant mean M:ℓ∞(S,X)→X. This improves upon previous results due to Bustos Domecq (J Math Anal Appl 275(2):512–520, 2002), Kania (J Math Anal Appl 445:797–802, 2017), Goucher and Kania (Studia Math 260:91–101, 2021)