Спектральные свойства дискретных моделей многомерных эллиптических задач со смешанными производными

The influence of the spectrum of original and preconditioned matrices on a convergence rate of iterative methods for solving systems of finite-difference equations applicable to two-dimensional elliptic equations with mixed derivatives is investigated. It is shown that the efficiency of the bi-conjugate gradient iterative methods for systems with asymmetric matrices significantly depends not only on the matrix spectrum boundaries, but also on the heterogeneity of the distribution of the spectrum components, as well as on the magnitude of the imaginary part of complex eigenvalues. For test matrices with a fixed condition number, three variants of the spectral distribution were studied and the dependences of the number of iterations on the dimension of matrices were estimated. It is shown that the non-uniformity in the eigenvalue distribution within the fixed spectrum boundaries leads to a significant increase in the number of iterations with increasing dimension of the matrices. The increasing imaginary part of the eigenvalues has a similar effect on the convergence rate. Using as an example the model potential distribution problem in a square domain, including anisotropic ring inhomogeneity, a comparative analysis of the matrix structure and the convergence rate of the bi-conjugate gradient method with Fourier – Jacobi and incomplete LU factorization preconditioners is performed. It is shown that the advantages of the Fourier – Jacobi preconditioner are associated with a more uniform distribution of the spectrum of the preconditioned matrix along the real axis and a better suppression of the imaginary part of the spectrum compared to the preconditioner based on the incomplete LU factorization.Исследовано влияния структуры спектров исходной и переобусловленной матриц разностных задач для двумерных эллиптических уравнений со смешанными производными на скорость сходимости итерационных методов решения систем соответствующих сеточных уравнений. Показано, что эффективность итерационных методов семейства би-сопряженных градиентов для систем с не симметричными матрицами существенно зависит не только от границ спектра матрицы, но и от неоднородности распределения его компонент, а также от величины мнимой части комплексных собственных чисел. Для тестовых матриц с фиксированным числом обусловленности изучены три варианта спектрального распределения и получены зависимости количества итераций от размерности матриц. Показано, что неравномерность распределения собственных значений в пределах фиксированных границ спектра приводит к существенному росту числа итераций с возрастанием размерности матриц. Аналогичное влияние на скорость сходимости оказывает рост амплитуды мнимой части собственных значений. На примере модельной задачи распределения потенциала в квадратной области с анизотропной кольцевой неоднородностью проведен сравнительный анализ взаимозависимости структуры спектра матриц и скорости сходимости метода би-сопряженных градиентов с переобусловливателями Фурье – Якоби и неполной LU-факторизации. Показано, что преимущества переобусловливателя Фурье – Якоби связаны с более равномерным распределением спектра переобусловленной матрицы вдоль действительной оси и лучшим подавлением мнимой составляющей спектра по сравнению с переобусловливателем на основе неполной LU-факторизации

Finite-difference iterative solver with spectrally equivalent preconditioner for anisotropic electrical impedance tomography problems

секция: Дифференциальные уравнения и их приложени

Разностные схемы и итерационные методы для многомерных эллиптических уравнений со смешанными производными

Finite difference schemes and iterative methods of solving anisotropic diffusion problems governing multidimensional elliptic PDE with mixed derivatives are considered. By the example of the test problem with discontinuous coefficients, it is shown that the spectral characteristics of the finite difference problem and the efficiency of their preconditioning depend on the mixed derivatives approximation method. On the basis of the comparative numerical analysis, the most adequate approximation formulas for the mixed derivatives providing a maximum convergence rate of the bi-conjugate gradients method with the incomplete LU factorization and the Fourier – Jacobi preconditioners are discovered. It is shown that the monotonicity of the finite difference scheme does not guarantee advantages at their iterative implementation. Moreover, the grid maximum principle is not provided under the conditions of essential anisotropy.Рассмотрены разностные схемы и итерационные методы для решения задач анизотропной диффузии, описываемых многомерными эллиптическими уравнениями со смешанными производными. На примере модельной двумерной задачи с разрывными коэффициентами показано, что спектральные свойства разностной задачи и эффективность ее переобусловливания при итерационной реализации зависят от способа аппроксимации смешанных производных. На основе сравнительного численного анализа выявлена наиболее адекватная схема аппроксимации смешанных производных, обеспечивающая максимальную скорость сходимости итерационного метода би-сопряженных градиентов с переобусловливателями Фурье – Якоби и неполной LU-факторизации. Показано, что свойство монотонности разностной схемы не гарантирует ее преимущество при итерационной реализации. Более того, в условиях сильной анизотропии не удается обеспечить выполнение сеточного принципа максимума