Szybszy algorytm deterministyczny dla problemu Modularnej Sumy Podzbioru.

Rozważamy problem Modularnej Sumy Podzbioru: mając dany multizbiór X liczb modulo m, oraz docelową liczbę t, zdecyduj czy istnieje podzbiór X o sumie równej t (mod m). Niedawne prace Cardinala i Iacono (SOSA'21), oraz Axiotisa i in. (SOSA'21) dały proste i prawie liniowe algorytmy dla tego problemu. Cardinal i Iacono zaproponowali randomizowany algorytm działający w czasie O(m log m), natomiast Axiotis i in. pokazali deterministyczny algorytm, który działa w czasie O(m polylog m). Obydwa rezultaty zostały uzyskane przez redukcję do problemu tekstowego, który jest następnie rozwiązany przy użyciu struktury danych dla dynamicznych ciągów.W tej pracy, proponujemy prostą strukturę danych, zaprojektowaną specjalnie dla problemu tekstowego pojawiającego się w problemie Modularnej Sumy Podzbioru. Nasza struktura danych jest prostym wariantem drzewa przedziałowego. Proponujemy zarówno wersję korzystającą z hashowania jak i deterministyczną.Następnie aplikujemy naszą strukturę danych do problemu Modularnej Sumy Podzbioru i uzyskujemy dwa algorytmy. Pierwszy algorytm jest randomizowany Monte-Carlo i działa w czasie O(m log m). Drugi algorytm jest w pełni deterministyczny i działa w czasie O(m log m α(m)), gdzie α to odwrotna funkcja Ackermanna.We consider the Modular Subset Sum problem: given a multiset X of integers modulo m and a target integer t, decide if there exists a subset of X with a sum equal to t (mod m). Recent independent works by Cardinal and Iacono (SOSA'21), and Axiotis et al. (SOSA'21) provided simple and near-linear algorithms for this problem. Cardinal and Iacono gave a randomized algorithm that runs in O(m log m) time, while Axiotis et al. gave a deterministic algorithm that runs in O(m polylog m) time. Both results work by reduction to a text problem, which is solved using a dynamic strings data structure.In this work, we develop a simple data structure, designed specifically to handle the text problem that arises in the algorithms for Modular Subset Sum. Our data structure, which we call the shift-tree, is a simple variant of a segment tree. We provide both a hashing-based and a deterministic variant of the shift-trees.We then apply our data structure to the Modular Subset Sum problem and obtain two algorithms. The first algorithm is Monte-Carlo randomized and matches the O(m log m) runtime of the Las-Vegas algorithm by Cardinal and Iacono. The second algorithm is fully deterministic and runs in O(m log m α(m)) time, where α is the inverse Ackermann function

SPQR-trees and their application for planar graphs representation

SPQR-drzewo to struktura danych opisująca rozkład dwuspójnego grafu na trójspójne składowe. Struktura ta znajduje szczególne zastosowanie w przypadku grafów planarnych: pozwala w przejrzysty sposób opisać wszystkie zanurzenia planarne danego grafu.Celem tej pracy jest opisanie trójspójnych składowych oraz SPQR-drzew i implementacja liniowego algorytmu ich konstrukcji. Ponadto, rozważany jest problem znalezienia zanurzenia planarnego, które minimalizuje średnicę grafu dualnego. Jest to problem NP-trudny, także jeśli dany graf jest dwuspójny. Wykorzystujemy SPQR-drzewa, aby pokazać, że w przypadku grafów dwuspójnych problem ten należy do klasy FPT.SPQR-tree is a data structure that represents division of a biconnected graph into triconnected components. It is particularly applicable for planar graphs: it allows to describe all planar embeddings of a graph in a clear way.This paper aims to define triconnected components and SPQR-trees, as well as to implement linear-time algorithm of their construction. Moreover, we consider a problem of finding a planar embedding such that the diameter of its dual graph is the smallest possible. This problem is known to be NP-hard, even for biconnected graphs. We employ SPQR-trees in order to show that this problem is fixed-parameter tractable for biconnected graphs