A note on Banach C₀(X)-modules

The projective tensor product over C₀(X) of locally C₀(X)-convex non-degene-rate Banach C₀(X)-modules is again locally C₀(X)-convex

KK-Theory for Banach Algebras and Proper Groupoids

Analog zur Definition der Assembly-Abbildung von Baum-Connes hat V. Lafforgue einen Homomorphismus \mu_A^B von K^top(G,B) nach K(A(G,B)) konstruiert, wobei G eine lokalkompaktes Gruppoid, B eine G-C^*-Algebra und A(G) eine sogenannte unbedingte Vervollständigung von C_c(G) ist. In der vorliegenden Arbeit werden statt G-C^*-Algebren nicht-entartete G-Banachalgebren betrachtet, und es wird bewiesen, daß der Homomorphismus \mu_A^B einen natürlichen Schnitt hat, falls die G-Banachalgebra B eigentlich (und die Vervollständigung A(G) nicht zu exotisch) ist. Die wichtigste Zutat zum Beweis ist die folgende Verallgemeinerung des Satzes von Green-Julg: Wenn G eigentlich und B eine G-Banachalgebra ist (und A(G) schwachen Bedingungen genügt), dann sind KK^ban_G(C_0(X),B) und RKK^ban(C_0(X/G); C_0(X/G), A(G,B)) isomorph, wobei X den Einheitenraum von G bezeichne. Es wird auch gezeigt, daß die Gruppoid-Version der KK^ban-Theorie unter verallgemeinerten Morphismen von Gruppoiden funktoriell ist.In analogy to the definition of the assembly map of Baum-Connes, V. Lafforgue has constructed a homomorphism \mu_A^B from K^top(G,B) to K_0(A(G,B)), where G is a locally compact groupoid, B is a G-C^*-algebra and A(G) is a so-called unconditional completion of C_c(G). In the present thesis, non-degenerate G-Banach algebras are considered instead of G-C^*-algebras. The main result asserts that the map \mu_A^B is split surjective if the G-Banach algebra B is proper (and A(G) satisfies some mild condition). The proof rests on the following generalised version of the Green-Julg theorem: If G is proper and B is a G-Banach algebra (and A(G) satisfies some mild condition), then KK^ban_G(C_0(X),B) is naturally isomorphic to KK^ban(C_0(X/G); C_0(X/G), A(G,B)), where X denotes the unit space of G. It is also proved that the groupoid version of KK^ban is functorial under generalised morphisms of groupoids