О ГОМОЛОГИЧЕСКОМ ОПИСАНИИ РАДИКАЛА ДЖЕКОБСОНА ДЛЯ АЛГЕБР ЛИ И ЛОКАЛЬНО НИЛЬПОТЕНТНОГО РАДИКАЛА ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ АЛГЕБР ЛИ

One way to study the properties of rings, algebras, Lie algebras and their ideals presupposes their description via the properties of modules over these rings, algebras, Lie algebras. This article deals with the study of radicals of Lie algebras. We discuss the possibility of homological descriptions of the Jacobson radical of Lie algebras and nilpotent radical of the special Lie algebra.The first section introduces the concepts of radicals of Lie algebras.The second section is devoted to the Jacobson radical of Lie algebras. It is proved that the intersection of all annihilators of irreducible modules over an arbitrary Lie algebra L coincides with the intersection of the Lie algebras L and the Jacobson radical of the universal enveloping algebra. This section contains examples that prove this fact. This examples allows to prove the equality of the nilpotent radical of PI-irreducible represented radical of finite-dimensional Lie algebra over a field of characteristic zero. We find the correlation between the locally nilpotent radical and others radicals of Lie algebras such that the irreducible represented radical, the PI-irreducible represented radical and the finitely irreducible represented radical.In the third section it is shown that the locally nilpotent radical is included in the PI-irreducible represented radical for an arbitrary special Lie algebra L over a field F of characteristics zero. We have proved that the prime radical is not included in the PI-irreducible represented radical. The reverse inclusion for these radicals does not hold. The PI-irreducible represented radical is not locally solvable in the general case. Shows an example of a special Lie algebra L over a field F with the locally nilpotent radical, which has is equal to zero. Один из способов изучения свойств колец, алгебр, алгебр Ли, а также их идеалов предполагает сведение их описания через свойства модулей над этими кольцами, алгебрами, алгебрами Ли. В статье рассматриваются вопросы исследования радикалов алгебр Ли, обсуждаются возможности гомологического описания радикала Джекобсона алгебры Ли и нильпотентного радикала специальной алгебры Ли.В первом разделе работы вводятся основные понятия исследуемых в дальнейшем радикалов и алгебр Ли.Второй раздел посвящен радикалу Джекобсона для алгебр Ли. Доказано, что пересечение аннуляторов всех неприводимых модулей над произвольной алгеброй Ли L совпадает с пересечением алгебры Ли L и радикала Джекобсона универсальной обертывающей алгебры.Приведены примеры алгебр Ли, подтверждающие данный факт, а также позволяющие доказать равенство нильпотентного радикала PI-неприводимо представленному радикалу конечномерной алгебры Ли над полем характеристики нуль. Рассмотрены соотношения локально нильпотентного радикала и естественных, гомологически заданных радикалов: неприводимо представленного, PI-неприводимо представленного и конечно неприводимо представленного.В третьем разделе работы показано, что для произвольной специальной алгебры Ли L над полем F характеристики нуль имеет место включение локально нильпотентного радикала в PI-неприводимо представленный, причем в общем случае это включение строгое. Сопоставление первичного радикала с PI--неприводимо представленным позволяет сделать вывод, что ни одно из возможных включений не выполняется и PI-неприводимо представленный радикал не является локально разрешимым в общем случае.Приведен пример специальной алгебры Ли L над полем F, charF ̸= 2, в которой, при условии ненулевого неприводимо представленного радикала, локально нильпотентный радикал равен нулю.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РЕШЁТКИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ РЕШЁТОК

.В работе дано новое общее определение алгебраической решётки. Доказывается, что любое рациональное преобразование алгебраической решётки снова будет алгебраической решёткой. Показано, что взаимная решётка к алгебраической решётки также будет алгебраической решёткой, соответствующей тому же чисто-вещественному алгебраическому полю Fs над полем рациональных чисел Q.Следуя за Б. Ф. Скубенко, изучаются фундаментальные системы из чисто-вещественного алгебраического поля Fs над полем рациональных чисел Q. Показана связь между фундаментальными системами алгебраических чисел и алгебраическими решётками.В работе доказаны оценки для норм матрицы перехода от произвольной невырожденной матрицы к рациональной приближающей матрицы. С помощью леммы об оценки нормы матрицы перехода и обратной матрицы перехода, связывающих произвольную невырожденную матрицу и невырожденную рациональную приближающую матрицу, в работе показано, что множество алгебраических решёток всюду плотно в метрическом пространстве решёток.Доказанная теорема является частным случаем более общей теоремы о том, что для любой решётки Λ ∈ PRs множество всех решёток рационально связанных с решёткой Λ всюду плотно в PRs.Аналогом данной теоремы является утверждение что для произвольной точки общего положения из Rs соответствующее s-мерное рациональное арифметическое пространство будет всюду плотно в s-мерном вещественном арифметическом пространстве Rs

ПИХТИЛЬКОВ СЕРГЕЙ АЛЕКСЕЕВИЧ Жизнь и научная деятельность

.

О СВОЙСТВАХ ПЕРВИЧНОГО РАДИКАЛА СЛАБОАРТИНОВОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ

This article deals with the issues of the structural theory of Lie algebras. The construction of the structural theory of algebraic systems implies the existence of certain structures of a special form, which are simpler than the base system. The important tool to study algebraic systems is the radical. The development of the structural theory of Lie algebras led to the emergence of various radicals. There are many radicals of Lie algebras in numerous publications. For example, the Killing radical, the Parfenov radical, the Jacobson radical and the prime radical are considered in various articles. The important area of research is the study of radicals of innite-dimensional Lie algebras. The article is devoted to proving properties of prime radical of a weakly artinian Lie algebra. A Lie algebra is said to be a weakly artinian if the Lie algebra satises the descending chain condition on ideals. In the rst section of the paper we introduced the concept of the prime radical in the following way. A Lie algebra L is said to be prime if [U; V ] = 0 implies U = 0 or V = 0 for any ideals U and V of L. We say that the ideal P of a Lie algebra L is prime if the factor algebra L=P is prime. The intersection of all prime ideals is called the prime radical P(L) of a Lie algebra L. In the second section it is shown that any nite set of elements of the prime radical of a weakly artinian Lie algebra generates the nilpotent subalgebra. This means that the prime radical is locally nilpotent. The third section is devoted to the solvability of the prime radical of a weakly artinian Lie algebra. There is a history of solving Mikhalev' s problem about the prime radical of a weakly artinian Lie algebra in this section also.В статье рассматриваются вопросы, относящиеся к структурной теории алгебр Ли. Построение структурной теории алгебраических систем предполагает наличие определенных конструкций специального вида, изучение которых представляется более простым по сравнению с изучением самой системы. Важнейшим инструментом исследования алгебраических систем является радикал. Развитие структурной теории алгебр Ли привело к появлению различных радикалов. В многочисленных публикациях рассматриваются такие радикалы алгебр Ли, как разрешимый радикал Киллинга, слабо разрешимый радикал Парфенова, радикал Джекобсона, первичный радикал. Одним из актуальных направлений исследований является изучение свойств радикалов бесконечномерных алгебр Ли. Статья посвящена доказательству свойств первичного радикала алгебры Ли, на которую накладывается дополнительное условие " слабоартиновость. Слабоартиновой называется алгебра Ли, удовлетворяющая условию обрыва убывающих цепей идеала. В первом разделе работы вводится понятие первичного радикала следующим образом. Алгебра Ли L называется первичной, если для любых двух ее идеалов U и V из [U, V ] = 0 следует, что U = 0 или V = 0. Идеал P алгебры Ли L является первичным, если фактор-алгебра L/P " первична. Первичным радикалом P(L) алгебры Ли L называется пересечение всех ее первичных идеалов. Во втором разделе работы показано, что любое конечное множество элементов первичного радикала слабоартиновой алгебры Ли порождает в ней нильпотентную подалгебру, что означает локальную нильпотентность первичного радикала. Третий раздел посвящен свойству разрешимости первичного радикала слабоартиновой алгебры Ли. Доказательству свойства предшествует история решения проблемы А.В. Михалева о разрешимости первичного радикала алгебр Ли, удовлетворяющих дополнительным условиям