Generalised Kreĭn–Feller operators and gap diffusions via transformations of measure spaces

We consider the generalised Krein-Feller operator Δν,μ with respect to compactly supported Borel probability measures μ and ν with the natural restrictions that μ is atomless, the supp(ν)⊆supp(μ) and the atoms of ν are embedded in the supp(μ). We show that the solutions of the eigenvalue problem for Δν,μ can be transferred to the corresponding problem for the classical Krein-Feller operator Δν∘F−1μ,Λ with respect to the Lebesgue measure Λ via an isometric isomorphism determined by the distribution function Fμ of μ. In this way, we obtain a new characterisation of the upper spectral dimension and consolidate many known results on the spectral asymptotics of Krein-Feller operators. We also recover known properties of and connections to generalised gap diffusions associated to these operators. <br/

Optimal Partition Problems and Applications to Kreĭn–Feller Operators and Quantization Problems

Wir untersuchen die untere und obere Partitionsentropie bezüglich bestimmter Mengenfunktionen, die auf der Menge der $d$-dimensionalen dyadischen Würfel definiert sind. Zu diesem Zweck führen wir den neuen Begriff der Partitionsfunktion ein, der das bekannte $L^q$-Spektrum verallgemeinert. Wir finden eine Formel für die obere Partitionsentropie in Form der Nullstelle der zugehörigen Partitionsfunktion. Außerdem stellen wir eine Verbindung zwischen der Partitionsentropie und den klassischen Arbeiten von Solomjak und Birman und Borzov her und verbessern damit klassische Ergebnisse. Darüber hinaus stellen wir Regularitätsbedingungen auf, die garantieren, dass die untere und obere Partitionsentropie übereinstimmen. Aufbauend auf diesen allgemeinen Ergebnissen sind wir in der Lage, einen einheitlichen Rahmen zur Berechnung der oberen Spektraldimension von Kreĭn-Feller-Operatoren unter Berücksichtigung Neumann-Randbedingungen sowie der oberen Quantisierungsdimension zu entwickeln. Weiter können wir so Regularitätsbedingungen aufstellen, die sicherstellen, dass die untere und obere Spektraldimension sowie die untere und obere Quantisierungsdimension übereinstimmen. Die Ergebnisse werden durch eine Reihe von Beispielen veranschaulicht. Insbesondere beweisen wir, dass die Spektraldimension und die Quantisierungsdimension bezüglich selbstkonformer Maße mit und ohne Separierungsbedingungen existieren und mit Hilfe des $L^q$-Spektrums berechnet werden können. Es werden mehrere untere und obere Schranken für die untere und obere Spektraldimension sowie für die untere und obere Quantisierungsdimension in Abhängigkeit des $L^q$-Spektrums des zugrunde liegenden Maßes bewiesen, insbesondere erhalten wir scharfe Schranken in Abhängigkeit der oberen Minkowski-Dimension des Trägers des zugrunde liegenden Maßes. Des Weiteren geben wir erste Beispiele an, in denen die obere und untere Spektraldimension nicht übereinstimmen

Quantization dimensions of compactly supported probability measures via R\'enyi dimensions

We provide a full picture of the upper quantization dimension in term of the R\'enyi dimension, in that we prove that the upper quantization dimension of order $r>0$ for an arbitrary compactly supported Borel probability measure $\nu$ is given by its R\'enyi dimension at the point $q_{r}$ where the $L^{q}$-spectrum of $\nu$ and the line through the origin with slope $r$ intersect. In particular, this proves the continuity of $r\mapsto\overline{D}_{r}$ as conjectured by Lindsay (2001). This viewpoint also sheds new light on the connection of the quantization problem with other concepts from fractal geometry in that we obtain a one-to-one correspondence of the upper quantization dimension and the $L^{q}$-spectrum restricted to $\left(0,1\right)$. We give sufficient conditions in terms of the $L^{q}$-spectrum for the existence of the quantization dimension. In this way we show as a byproduct that the quantization dimension exists for every Gibbs measure with respect to a $\mathcal{C}^{1}$-self-conformal iterated function system on $\mathbb{R}^{d}$ without any assumption on the separation conditions as well as for inhomogeneous self-similar measures under the inhomogeneous open sets condition. Some known general bounds on the quantization dimension in terms of other fractal dimensions can readily be derived from our new approach, some can be improved.Comment: 17 pages, 1 figur

Generalised Kreĭn–Feller operators and gap diffusions via transformations of measure spaces

We consider the generalised Kre\u{\i}n-Feller operator $\Delta_{\nu, \mu}$ with respect to compactly supported Borel probability measures $\mu$ and $\nu$ under the natural restrictions $\mathrm{supp}(\nu)\subseteq\mathrm{supp}(\mu)$ and $\mu$ is atomless. We show that the solutions of the eigenvalue problem for $\Delta_{\nu, \mu}$ can be transferred to the corresponding problem for the classical Kre\u{\i}n-Feller operator $\Delta_{\nu, \Lambda}=\partial_{\mu}\partial_{x}$ with respect to the Lebesgue measure $\Lambda$ via an isometric isomorphism of the underlying Banach spaces. In this way we reprove and consolidate many known results on the spectral asymptotics of Kre\u{\i}n-Feller operators. Additionally, we investigate infinitesimal generators of generalised gap diffusions associated to generalised Kre\u{\i}n-Feller operators under Neumann boundary condition and determine their scale functions and speed measures. Extending the measure $\mu$ and $\nu$ to the real line allows us to determine the walk dimension of the given gap diffusion.Comment: 15 pages, 4 figure