Modélisation d'un phénomène pluvieux local et analyse de son transfert vers la nappe phréatique

Dans le cadre des recherches de la qualité des ressources en eau, l étude du processus de transfert de masse du sol vers la nappe phréatique constitue un élément primordial pour la compréhension de la pollution de cette dernière. En effet, les éléments polluants solubles à la surface (produits liés aux activités humaines tels engrais, pesticides...) peuvent transiter vers la nappe à travers le milieu poreux qu est le sol. Ce scénario de transfert de pollution repose sur deux phénomènes: la pluie qui génère la masse d eau à la surface et la dispersion de celle-ci à travers le milieu poreux. La dispersion de masse dans un milieu poreux naturel comme le sol forme un sujet de recherche vaste et difficile aussi bien au plan expérimental que théorique. Sa modélisation constitue une préoccupation du laboratoire EMMAH, en particulier dans le cadre du projet Sol Virtuel dans lequel un modèle de transfert (modèle PASTIS) a été développé. Le couplage de ce modèle de transfert avec en entrée un modèle décrivant la dynamique aléatoire de la pluie est un des objectifs de la présente thèse. Ce travail de thèse aborde cet objectif en s appuyant d une part sur des résultats d observations expérimentaux et d autre part sur de la modélisation inspirée par l analyse des données d observation. La première partie du travail est consacrée à l élaboration d un modèle stochastique de pluie. Le choix et la nature du modèle sont basés sur les caractéristiques obtenus à partir de l analyse de données de hauteur de pluie recueillies sur 40 ans (1968-2008) sur le Centre de Recherche de l INRA d Avignon. Pour cela, la représentation cumulée des précipitations sera assimilée à une marche aléatoire dans laquelle les sauts et les temps d attente entre les sauts sont respectivement les amplitudes et les durées aléatoires entre deux occurrences d événements de pluie. Ainsi, la loi de probabilité des sauts (loi log-normale) et celle des temps d attente entre les sauts (loi alpha-stable) sont obtenus en analysant les lois de probabilité des amplitudes et des occurrences des événements de pluie. Nous montrons alors que ce modèle de marche aléatoire tend vers un mouvement brownien géométrique subordonné en temps (quand les pas d espace et de temps de la marche tendent simultanément vers zéro tout en gardant un rapport constant) dont la loi de densité de probabilité est régie par une équation de Fokker Planck fractionnaire (FFPE). Deux approches sont ensuite utilisées pour la mise en œuvre du modèle. La première approche est de type stochastique et repose sur le lien existant entre le processus stochastique issu de l équation différentielle d Itô et la FFPE. La deuxième approche utilise une résolution numérique directe par discrétisation de la FFPE. Conformément à l objectif principal de la thèse, la seconde partie du travail est consacrée à l analyse de la contribution de la pluie aux fluctuations de la nappe phréatique. Cette analyse est faite sur la base de deux relevés simultanées d observations de hauteurs de pluie et de la nappe phréatique sur 14 mois (février 2005-mars 2006). Une étude statistique des liens entre les signaux de pluie et de fluctuations de la nappe est menée comme suit: Les données de variations de hauteur de nappe sont analysées et traitées pour isoler les fluctuations cohérentes avec les événements de pluie. Par ailleurs, afin de tenir compte de la dispersion de masse dans le sol, le transport de la masse d eau pluviale dans le sol sera modélisé par un code de calcul de transfert (modèle PASTIS) auquel nous appliquons en entrée les données de hauteurs de pluie mesurées. Les résultats du modèle permettent entre autre d estimer l état hydrique du sol à une profondeur donnée (ici fixée à 1.6m). Une étude de la corrélation entre cet état hydrique et les fluctuations de la nappe sera ensuite effectuée en complément à celle décrite ci-dessus pour illustrer la possibilité de modéliser l impact de la pluie sur les fluctuations de la nappeWithin the research quality of water resources, the study of the process of mass transfer from soil to groundwater is a key element for understanding the pollution of the latter. Indeed, soluble contaminants to the surface (related to human activities such fertilizers, pesticides products ...) can transit to the web through the porous medium that is the ground. This scenario transfer pollution based on two phenomena: the rain that generates the body of water to the dispersion and the surface thereof through the porous medium. The dispersion of mass in a natural porous medium such as soil forms a subject of extensive research and difficult both experimental and theoretical grounds. Its modeling is a concern EMMAH laboratory, particularly in the context of Virtual Sol project in which a transfer model (PASTIS model) was developed. The coupling of this transfer model with input a model describing the dynamics of random rain is one of the objectives of this thesis. This thesis addresses this goal by relying in part on the results of experimental observations and also on modeling inspired by the analysis of observational data. The first part of the work is devoted to the development of a stochastic model of rain. The choice and nature of the model are based on the features obtained from the analysis of data collected rainfall over 40 years (1968-2008) on the Research Centre INRA Avignon. For this, the cumulative rainfall representation will be treated as a random walk in which the jumps and waiting times between jumps are the amplitudes and durations between two random occurrences of rain events. Thus, the probability jumps (log-normal distribution) and that of waiting between jumps (Law alpha-stable) time is obtained by analyzing the laws of probability amplitudes and occurrences of rain events. We show that the random walk model tends towards a subordinate in time geometric Brownian motion (when space step and time step walking simultaneously tend to zero while maintaining a constant ratio), the law of probability density is governed by a Fokker Planck fractional (FFPE). Two approaches are then used to implement the model. The first approach is based on stochastic type and the relationship between the stochastic process derived from the differential equation of Itô and FFPE. The second approach uses a direct numerical solution by discretization of the FFPE. Accordance with the main objective of the thesis, the second part of the work is devoted to the analysis of the contribution of rain to fluctuations in groundwater. We approach this analysis on the basis of two simultaneous records of observations of rainfall amounts and groundwater over 14 months (February 2005-March 2006). A statistical study of the relationship between the signals of rain and fluctuating water will be conducted. Data sheet height variations are analyzed and processed to isolate coherent fluctuations with rain events. In addition, to take account of the mass dispersion in the soil, the mass transport of storm water in the soil layer is modeled by a calculation code transfer (PASTIS model) which we apply input data measured heights of rain. The model results allow between another estimate soil water status at a given depth (here set at 1.6m). A study of the correlation between the water status and fluctuating water will then be performed in addition to that described above to illustrate the ability to model the impact of rain on the water table fluctuationsAVIGNON-Bib. numérique (840079901) / SudocSudocFranceF

Structuration de la convection mixte en milieu poreux confiné latéralement et chauffé par le bas : effets d'inertie

Nous étudions la naissance de la convection dans un milieu poreux chauffé par le bas en présence d'un écoulement horizontal, et plus particulièrement l'influence de l'inertie poreuse et du rapport de forme transversal a du milieu. Nous montrons que l'état de conduction est déstabilisé au profit de rouleaux longitudinaux fixes (R.L) si a est entier et au profit de rouleaux propagatifs purement transversaux (R.T) si a est inférieur à une valeur limite ac <1. Pour a>ac et non entier, la convection naît sous la forme de structures tridimensionnelles (3D) oscillatoires pour a>1 ou sous la forme de R.T pour acReK*

Modèle fractionnaire pour la sous-diffusion (version stochastique et edp)

Ce travail a pour but de proposer des outils visant a comparer des résultats exp erimentaux avec des modèles pour la dispersion de traceur en milieu poreux, dans le cadre de la dispersion anormale.Le Mobile Immobile Model (MIM) a été à l origine d importants progrès dans la description du transport en milieu poreux, surtout dans les milieux naturels. Ce modèle généralise l quation d advection-dispersion (ADE) e nsupposant que les particules de fluide, comme de solut e, peuvent etre immo-bilis ees (en relation avec la matrice solide) puis rel achées, le piégeage et le relargage suivant de plus une cin etique d ordre un. Récemment, une version stochastique de ce modèle a eté proposée. Malgré de nombreux succès pendant plus de trois décades, le MIM reste incapable de repr esenter l evolutionde la concentration d un traceur dans certains milieux poreux insaturés. Eneffet, on observe souvent que la concentration peut d ecro ıtre comme unepuissance du temps, en particulier aux grands temps. Ceci est incompatible avec la version originale du MIM. En supposant une cinétique de piégeage-relargage diff erente, certains auteurs ont propos e une version fractionnaire,le fractal MIM (fMIM). C est une classe d equations aux d eriv ees par-tielles (e.d.p.) qui ont la particularit e de contenir un op erateur int egral li ea la variable temps. Les solutions de cette classe d e.d.p. se comportentasymptotiquement comme des puissances du temps, comme d ailleurs cellesde l equation de Fokker-Planck fractionnaire (FFPE). Notre travail fait partie d un projet incluant des exp eriences de tra cageet de vélocimétrie par R esistance Magn etique Nucl eaire (RMN) en milieuporeux insatur e. Comme le MIM, le fMIM fait partie des modeles ser-vant a interpréter de telles exp eriences. Sa version e.d.p. est adapt eeaux grandeurs mesur ees lors d exp eriences de tra cage, mais est peu utile pour la vélocimétrie RMN. En effet, cette technique mesure la statistiquedes d eplacements des mol ecules excit ees, entre deux instants fixés. Plus précisément, elle mesure la fonction caractéristique (transform ee de Fourier) de ces d eplacements. Notre travail propose un outil d analyse pour ces expériences: il s agit d une expression exacte de la fonction caract eristiquedes d eplacements de la version stochastique du modele fMIM, sans oublier les MIM et FFPE. Ces processus sont obtenus a partir du mouvement Brown-ien (plus un terme convectif) par des changement de temps aléatoires. Ondit aussi que ces processus sont des mouvement Browniens, subordonnéspar des changements de temps qui sont eux-m eme les inverses de processusde L evy non d ecroissants (les subordinateurs). Les subordinateurs associés aux modèles fMIM et FFPE sont des processus stables, les subordinateursassoci es au MIM sont des processus de Poisson composites. Des résultatsexp erimenatux tres r ecents on sugg er e d elargir ceci a des vols de L evy (plusg en eraux que le mouvement Brownien) subordonnés aussi.Le lien entre les e.d.p. fractionnaires et les modeles stochastiques pourla sous-diffusion a fait l objet de nombreux travaux. Nous contribuons ad etailler ce lien en faisant appara ıtre les flux de solut e, en insistant sur une situation peu etudiée: nous examinons le cas ou la cinétique de piégeage-relargage n est pas la m eme dans tout le milieu. En supposant deux cinétiques diff erentes dans deux sous-domaines, nous obtenons une version du fMIMavec un opérateur intégro-diff erentiel li e au temps, mais dépendant de la position.Ces r esultats sont obtenus au moyen de raisonnements, et sont illustrés par des simulations utilisant la discrétisation d intégrales fractionnaires etd e.d.p. ainsi que la méthode de Monte Carlo. Ces simulations sont en quelque sorte des preuves numériques. Les outils sur lesquels elles s appuient sont présentés aussi.We propose tools for to compare experimental data and models for anomalousdispersion in porous media.The Mobile Immobile Model (MIM) significantly improved the descrip-tion of mass transport in natural porous media. This model generalizes theadvection-dispersion equation (ADE) by assuming that fluid and solute parti-cles can be found in mobile on immobile states, exchanging matter accordingto first order kinetics. Moreover, it has a stochastic version. Nevertheless,the original MIM does not represent the power-law decrease of some break-through curves observed in some media, better described by a fractionalversion, the fractal MIM (fMIM) which assumes a different kinetics. Theacronym fMIM denotes partial differential equations (p.d.e.) involving afractional integral with respect to time, having solutions falling-off as powerof times, asymptotically. It keeps in similarity with the fractional Fokker-Planck equation (FFPE). As this equation, the fMIM describes the evolutionof the probability density function of stochastic processes, namely Brownianmotion sujected to a time change that is the hitting time of a stable sub-ordinator, strictly stable or not, according FFPE or fMIM is considered.Using probabilistic arguments and numerical simulation, we extend this re-sult to the case when the transport parameters and the time scales of thetime change vary in space. P.d.es are well suited for comparing with tracer tests data. Yet, they arenot very useful to discuss signals recorded by pulsed field gradient (PFG)nuclear magnetic resonance (NMR), a technique which measures the char-acteristic function (Fourier transform) of molecular displacements betweentwo fixed instants. For to process such data, we derive an expression of thecharacteristic function of the displacements of Brownian motions subordi-nated by the hitting times of stable subordinators, i.e. of processes whosedensity satisfies FFPE of fMIM. We also consider time changes that are hit-ting times of composite Poisson processes (CPP), which correspond to theoriginal version of the MIM.AVIGNON-Bib. numérique (840079901) / SudocSudocFranceF

Dispersion en milieux poreux insaturés (modélisations et mesures RMN de distributions de vitesse)

La dispersion dans des milieux poreux homogènes (empilements de grains) a été étudiée par des mesures par résonance magnétique nucléaire (RMN) et des simulations de marches aléatoires dans un réseau de pores. La RMN permet de mesurer l ensemble des déplacements des molécules d eau durant un temps t , et d obtenir propagateurs et moments caractéristiques. L évolution temporelle du second moment ( 2 ta ) permet de caractériser de manière précise le régime de dispersion des molécules (Gaussien ou anormal). Des mesures pour des écoulements de 15 < Pe < 45 dans un empilement de grains de 30 m ont permis d observer une dispersion anormale faiblement super-dispersive (a = 1.17) en écoulement saturé et une augmentation progressive du caractère super-dispersif avec la diminution de la saturation en eau (jusqu à a = 1.5 pour 42 %)lors d une co-injection stationnaire eau-huile. En écoulement saturé, les propagateurs et courbes de percée sont quasi-gaussiennes, tandis qu en écoulement insaturé, les propagateurs sont asymétriques et les courbes de percée présentent des trainées aux grands temps. Dans ces conditions, on montre que la dispersion anormale observée est mieux décrite par des lois stables de Lévy que par des lois gaussiennes. Des simulations de marche aléatoire ont été réalisées dans un réseau de pores extrait d un milieu poreux réel par imagerie microscanner.Elles permettent d obtenir les mêmes informations que la RMN, les marcheurs se déplaçant par advection et diffusion. Ces simulations montrent l existence d une stagnation non observée dans les expériences, montrant que la simplification du réseau poreux est trop importante et empêche de reproduire certains aspects du champ de vitesses détecté par la RMN. Toutefois, l évolution temporelle du second moment a également un caractère super-dispersif à temps long à 100 % de saturationWe investigated dispersion in homogeneous porous media (grain packs) by nuclear magnetic resonance (NMR) measurements and random walk simulations in pore networks. We measured water molecules displacements during a time interval t by NMR measurements, which allows us to obtain propagators and charateristic cumulants of displacements such as the mean square displacement . The evolution of the cumulant as a function of time t ( 2 ta ) is a very sensitive test of Gaussian behaviour compared to the analysis of the shape of propagators. In a homogeneous 30 m grain pack and low Peclet numbers (15 < Pe < 45), we observed weak super dispersion in saturated conditions (a = 1.17) and gradually stronger super-dispersionas the water saturation decreases (up to a = 1.5 for 42 %) during steady-state oil-water two phase flow. Insaturated conditions, propagators and breakthrough curves are Gaussian or nearly Gaussian, whereas in two phase conditions, propagators are non symmetric and breakthrough curves show thick tails at long time. Weshow that the anomalous dispersion observed is better explained by Lévy stable laws (asymetric for longitudina ldispersion, and symetric for transverse dispersion) than by Gaussian laws. Random walk simulations were performed in a pore network constructed using high resolution images of the grain pack. They allow us to obtain the same informations than the NMR, with walkers submitted to diffusive and advective effects. The simulations show the existence of an anomalous stagnation not observed in experiments, highlighting the oversimplification of the pore network that prevent reproducing some aspects of the velocity field detected by NMR. However, the simulations indicate similarly a super-dispersion at long time in saturated conditionsAVIGNON-Bib. numérique (840079901) / SudocSudocFranceF

Transport anormal de traceurs passifs en milieux poreux hétérogènes (équations fractionnaires, simulation numérique et conditions aux limites)

Dans de nombreux milieux poreux désordonnés, la dispersion de soluté n'évolue pas en accord avec la loi de Fick. Cette dernière prévoit l'évolution d'un panache de traceur à partir de données initiales modélisant, en particulier, une injection localisée. Alors, la concentration est une Gaussienne dont l'écart type est proportionnel à la racine carrée du temps. Des données expérimentales obtenues dans des aquifères ont mis en évidence des comportements qualitativement différents, remplaçant les Gaussiennes par des lois stables de Lévy. Celles-ci sont aussi des fonctions décroissantes, mais leur comportement asymptotique est celui d'une puissance, et en général leur second moment ne converge pas. Or les densités des lois stables de Lévy sont les solutions fondamentales d'une vaste classe d'équations aux dérivées partielles. Il s'agit des équations fractionnaires en espace, obtenues à partir de l'équation de la chaleur en remplaçant le Laplacien par une dérivée d'ordre non entier. D'autre part, ces équations régissent l'évolution de la concentration d'une population de marcheurs aléatoires effectuant des vols de Lévy : ces derniers généralisent le mouvement Brownien, avec, pour la densité des longueurs des sauts, une loi stable de Lévy. Ces point sont détaillés dans la thèse. Les principaux résultats concernent la dispersion dans un milieu semi-infini au sein duquel, tant que les particules de traceur n'approchent pas la frontière, la dispersion est décrite par des vols de Lévy, à petite échelle. On montre qu'avec une paroi reflexive, il est nécessaire de modifier le noyau de la dérivée fractionnaire présente dans l'équation régissant l'évolution de la concentration des marcheurs. Ce résultat théorique est illustré par une simulation de type Monte Carlo de cette évolution. On compare avec la simulation numérique de l'équation fractionnaire en milieu semi-infiniIn a number of disordered porous, solute spreading does not obey Fick's law. The latter describes the evolution of a plume of tracer. When initial data represent a local impulse, the concentration is a Gaussian variance is proportional to time. Experimental data obtained in aquifers have put into evidence qualitatively different behaviors, replacing Gaussians by stable Lévy densities, which also are non increasing functions. But in the large values asymptotics, they behave algebraically, and in general the second moment does not converge. Moreover, stable Lévy densities are the fundamental solutions of a wide class of partial differetial equations, which are space-fractional equations. They resemble heat equation, with the Laplacean being replaced by a derivative of non-integer order. They also rule the evolution of the concentration of a cloud of random walkers performing Lévy flights, wich are more general than Brownian motion, with the jump length density being a stable Lévy law. All these point are detailed in the thesis. The main results concern the spreading of matter in a semi-infinite medium where the motion of tracer particles is described by Lévy flights (on the small scale) except when they meet the boundary. With a reflexive wall, it is necessary to modify the kernel of the fractional derivative on the right hand-side of the equation ruling the evolution of the concentration of walkers. The theoretical result is illustrated by a Monte Carlo simulation, and compared with the numerical discretization of the fractional equation in a semi-infinite mediumAVIGNON-BU Centrale (840072102) / SudocSudocFranceF

Modèles mathématiques pour la diffusion en milieux poreux hétérogènes

AVIGNON-BU Centrale (840072102) / SudocSudocFranceF

From particles scale to anomalous or classical convection-diffusion models with path integrals.

International audienc

Multiple-Relaxation-Time Lattice Boltzmann scheme for fractional advection–diffusion equation

International audiencePartial differential equations (p.d.e) equipped with spatial derivatives of fractional order capture anomalous transport behaviors observed in diverse fields of Science. A number of numerical methods approximate their solutions in dimension one. Focusing our effort on such p.d.e. in higher dimension with Dirichlet boundary conditions, we present an approximation based on Lattice Boltzmann Method with Bhatnagar-Gross-Krook (BGK) or Multiple-Relaxation-Time (MRT) collision operators. First, an equilibrium distribution function is defined for simulating space-fractional diffusion equations in dimensions 2 and 3. Then, we check the accuracy of the solutions by comparing with i) random walks derived from stable Lévy motion, and ii) exact solutions. Because of its additional freedom degrees, the MRT collision operator provides accurate approximations to space-fractional advection-diffusion equations, even in the cases which the BGK fails to represent because of anisotropic diffusion tensor or of flow rate destabilizing the BGK LBM scheme

Mass transport subject to time-dependent flow with nonuniform sorption in porous media

International audienceWe address the description of solutes flow with trapping processes in porous media. Starting from a smallscale model for tracer particle trajectories, we derive the corresponding governing equations for the concentration of the mobile and immobile phases within a fractal mobile-immobile model approach.We show that this formulation is fairly general and can easily take into account nonconstant coefficients and in particular spacedependent sorption rates. The transport equations are solved numerically and a comparison with Monte Carlo particle-tracking simulations of spatial contaminant profiles and breakthrough curves is proposed, so as to illustrate the obtained result

Fractional Fick's law: the direct way

International audienceLévy flights, which are Markovian continuous time random walks possibly accounting for extreme events, serve frequently as small-scale models for the spreading of matter in heterogeneous media. Among them, Brownian motion is a particular case where Fick's law holds: for a cloud of walkers, the flux is proportional to the gradient of the probability density of finding a particle at some place. Lévy flights resemble Brownian motion, except that jump lengths are distributed according to an α-stable Lévy law, possibly showing heavy tails and skewness. For α between 1 and 2, a fractional form of Fick's law is known to hold in infinite media: that the flux is proportional to a combination of fractional derivatives or the order of α - 1 of the density of walkers was obtained as a consequence of a fractional dispersion equation. We present a direct and natural proof of this result, based upon a novel definition of usual fractional derivatives, involving a convolution and a limiting process. Taking account of the thus obtained fractional Fick's law yields fractional dispersion equation for smooth densities. The method adapts to domains, limited by boundaries possibly implying non-trivial modifications to this equation