Classical velocity transformations

La transformación de Galileo, sobre la velocidad de una partícula observada en dos diferentes marcos de referencia, debe ser modificado si se está girando con respecto al otro. Cursos de introducción general, no mencionan este hecho, invitando a la confusión posterior acerca de la cinemática y la dinámica de la combinación de movimiento de traslación, rotación.The Galilean transformation, relating the velocities of a particle observed in two different frames of reference, must be modified if one frame is rotating relative to the other. Introductory courses typically do not mention this fact, inviting subsequent confusion about the kinematics and dynamics of combined translational-rotational motion

A refresher on curvature for application to centripetal acceleration

Se revisan tres derivaciones de la formula estándar para la curvatura K de una curva plana y(x) . La curvatura es igual a 1/ r , en donde r es el radio de curvatura, y así es necesario calcular la aceleración centrípeta de una partícula atravesando esa trayectoria. Como un ejemplo, son calculadas las aceleraciones centrípeta y tangencial para un proyectil en su trayectoria parabólica.Three derivations of the standard formula for the curvature K of a plane curve y(x) are reviewed. Curvature is equal to 1 / r , where r is the radius of curvature, and is thus needed to compute the centripetal acceleration of a particle traversing that path. As an example, the centripetal and tangential accelerations are calculated for a projectile on its parabolic trajectory

Three Important Taylor Series for Introductory Physics

Taylor expansions of the exponential exp(x), natural logarithm ln(1+x), and binomial series (1+x)n are derived to low order without using calculus. It is particularly simple to develop and graph the expansions to linear power in x. An example is presented of the application of the first-order binomial expansion to finding the electrostatic potential at large distances from an electric dipole. With a little extra work, the second-order expansions can be obtained starting from the familiar kinematics expression for the motion of a particle accelerating in one dimension, which instructively ties the mathematical development to physics concepts already presented in introductory courses.Se derivan los desarrollos de Taylor de la exponencial exp (x), el logaritmo natural ln(1 + x), y la serie del binomio (1 + x)n para orden bajo sin utilizar cálculo. Especialmente las expansiones para potencia lineal en x son fáciles de desarrollar y graficar. Se presenta un ejemplo de la aplicación de la expansión de primer orden del binomio para encontrar el potencial electrostático a grandes distancias de un dipolo eléctrico. Con un poco de trabajo extra, se puede obtener la expansión de segundo orden a partir de la familiar expresión cinemática para el movimiento de una partícula acelerada en una dimensión, que vincula el desarrollo matemático con los conceptos de la física que se presentan en los cursos introductorios

Heat engine with finite thermal reservoirs and nonideal efficiency

The performance of an irreversible heat engine operating between two thermal reservoirs with finite, temperatureindependent heat capacity is analyzed. For this purpose, a dynamic second-law efficiency is introduced and assumed to be constant. As the first-law efficiency increases from zero up to the Carnot limit, the common final temperature of the reservoirs interpolates between the arithmetic and geometric mean of their initial temperatures. The total output work and entropy change of the reservoirs are computed and related to the static efficiencies. The dynamic and static efficiencies are shown to be approximately equal to each other when the temperature of the cold reservoir is at least 10% of the temperature of the hot reservoir.Se analiza el desempeño de un motor térmico funcionando en un proceso irreversible entre dos depósitos térmicos finitos, con capacidad térmica independiente de la temperatura. Para este fin, se introduce una eficiencia dinámica de la segunda ley que se supone constante. Como la eficiencia de la primera-ley aumenta de cero hasta el límite de Carnot, la temperatura final común de los depósitos se interpola entre la media aritmética y la media geométrica de sus temperaturas iniciales. La producción total de trabajo y el cambio de entropía de los depósitos se calcula y se relaciona con las eficiencias estáticas. Se muestra que las eficiencias dinámica y estática son aproximadamente iguales entre sí cuando la temperatura del depósito frío es al menos el 10% de la temperatura del depósito caliente

Flying off a frictionless curved ramp

A general equation is derived for the point along a descending curved track that a particle (such as a marble or model car) loses contact with the surface, in the absence of dissipation of mechanical energy. The object is assumed to start from rest at a point on the curve of zero slope. The launch speed and angle are calculated for the examples of a circular and a log-secant curve. The equation shows that a particle can never launch off a parabolic track, because it cannot attain the speed of a freefalling object skimming along the surface of such a track.Una ecuación general se deriva para un punto a lo largo de una trayectoria curvada descendente, de una partícula (tal como una bolita o un carrito) que pierde el contacto con la superficie, en ausencia de disipación de la energía mecánica. Se supone que el objeto empieza desde el reposo hasta un punto en que la pendiente de la curva es cero. La velocidad de lanzamiento y el ángulo se calculan para los ejemplos de una curva circular y una curva log-secante. La ecuación muestra que una partícula nunca puede lanzarse fuera de una trayectoria parabólica, porque no puede alcanzar la velocidad de un objeto en caída libre que coincide superficialmente con una trayectoria de este tipo

Traveling along a zipline

The trajectory of a rider slowly traversing a zipline of fixed length and endpoints is computed, as a one-dimensional illustration of the curving of spacetime by a mass. As the rider'fs weight increases from 0 to infinite, the trajectories uniformly interpolate between a catenary and an ellipse. These results are obtained by balancing forces in the horizontal and vertical directions, so that the treatment is accessible to undergraduate physics majors who have been exposed to finding the numerical roots of an algebraic equation.La trayectoria de un jinete lentamente atravesando una tirolesa de longitud fija y criterios de valoración se calcula, como una ilustración de una dimensión de la curvatura del espacio-tiempo por una masa. A medida que aumenta el peso del ciclista de 0 a infinito, las trayectorias de manera uniforme interpolar entre una catenaria y una elipse. Estos resultados se obtienen al equilibrar las fuerzas en las direcciones horizontal y vertical, de modo que el tratamiento es accesible para mayores de física de pregrado que han estado expuestos a la búsqueda de las raíces numérica de una ecuación algebraica

Swinging over the water hole

A child takes a running start, grabs hold of the free-hanging end of a rope at the edge of a water hole at x �­ 0 , swings upward, and lets go of the rope at some point, flying freely through the air until he lands in the water at x �­ R . For small initial speeds, the maximum range R is obtained by releasing the rope just short of its turning point and dropping almost straight down into the water from rest. On the other hand, as a child¡¦s running speed gets larger and larger (compared to the square root of the product of the length of the rope and earth¡¦s gravitational field), the rope should be released at an angle of about �à / 4 to maximize the range. That is, the optimum trajectory of a child is dominated by pendulum motion at low running speeds and by projectile motion at high initial speeds.Un nino se pone en marcha, agarra el extremo libre colgando de una cuerda en el borde de un agujero de agua en x = 0, oscilando hacia arriba, y suelta la cuerda en algunos momentos, volando libremente por el aire hasta que se sumerge en el agua en x = 0. Para pequenas velocidades iniciales, el maximo rango de R se obtiene mediante la liberacion de la cuerda justo por debajo de su punto de inflexion y cayendo casi en linea recta hacia abajo en el agua desde el reposo. Por otra parte, como la velocidad de carrera del nino se hace mas y mas grande (en comparacion con la raiz cuadrada del producto de la longitud de la cuerda y el campo gravitacional de la Tierra), la cuerda debe ser liberada en un angulo de alrededor de �Î/4 para maximizar el rango. Es decir, la trayectoria optima de un nino esta dominada por el movimiento del pendulo a bajas velocidades de carrera y por el movimiento de proyectiles a altas velocidades iniciales