Collocation methods for second order systems

Collocation methods for numerical optimal control commonly assume that the system dynamics is expressed as a first order ODE of the form x¿ = f(x, u, t), where x is the state and u the control vector. However, in many systems in robotics, the dynamics adopts the second order form q¨ = g(q, q¿, u, t), where q is the configuration. To preserve the first order form, the usual procedure is to introduce the velocity variable v = q¿ and define the state as x = (q, v), where q and v are treated as independent in the collocation method. As a consequence, the resulting trajectories do not fulfill the mandatory relationship v(t) = q¿(t) for all times, and even violate q¨ = g(q, q¿, u, t) at the collocation points. This prevents the possibility of reaching a correct solution for the problem, and makes the trajectories less compliant with the system dynamics. In this paper we propose a formulation for the trapezoidal and Hermite-Simpson collocation methods that is able to deal with second order dynamics and grants the mutual consistency of the trajectories for q and v while ensuring q¨ = g(q, q¿, u, t) at the collocation points. As a result, we obtain trajectories with a much smaller dynamical error in similar computation times, so the robot will behave closer to what is predicted by the solution. We illustrate these points by way of examples, using well-established benchmark problems from the literature.Peer ReviewedPostprint (author's final draft

A Legendre-Gauss pseudospectral collocation method for trajectory optimization in second order systems

© 2022 IEEE. Personal use of this material is permitted. Permission from IEEE must be obtained for all other uses, in any current or future media, including reprinting /republishing this material for advertising or promotional purposes, creating new collective works, for resale or redistribution to servers or lists, or reuse of any copyrighted component of this work in other worksPseudospectral collocation methods have proven to be powerful tools to solve optimal control problems. While these methods generally assume the dynamics is given in the first order form xdot = f(x, u, t), where x is the state and u is the control vector, robotic systems are typically governed by second order ODEs of the form qddot = g(q, qdot, u, t), where q is the configuration. To convert the second order ODE into a first order one, the usual approach is to introduce a velocity variable v and impose its coincidence with the time derivative of q. Lobatto methods grant this constraint by construction, as their polynomials describing the trajectory for v are the time derivatives of those for q, but the same cannot be said for the Gauss and Radau methods. This is problematic for such methods, as then they cannot guarantee that qddot = g(q, qdot, u, t) at the collocation points. On their negative side, Lobatto methods cannot be used to solve initial value problems, as given the values of u at the collocation points they generate an overconstrained system of equations for the states. In this paper, we propose a Legendre-Gauss collocation method that retains the advantages of the usual Lobatto, Gauss, and Radau methods, while avoiding their shortcomings. The collocation scheme we propose is applicable to solve initial value problems, preserves the consistency between the polynomials for v and q, and ensures that qddot = g(q, qdot, u, t) at the collocation points.Peer ReviewedPostprint (author's final draft

A modification of collocation methods to ensure compatible position and velocity trajectories. Documento técnico del Instituto de Robótica e Informática Industrial

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A Legendre-Gauss pseudospectral collocation method for trajectory optimization in second order systems

Trabajo presentado en el International Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS), celebrado en Kyoto (Japón), del 23 al 27 de octubre de 2022Pseudospectral collocation methods have proven to be powerful tools to solve optimal control problems. While these methods generally assume the dynamics is given in the first order form xdot = f(x, u, t), where x is the state and u is the control vector, robotic systems are typically governed by second order ODEs of the form qddot = g(q, qdot, u, t), where q is the configuration. To convert the second order ODE into a first order one, the usual approach is to introduce a velocity variable v and impose its coincidence with the time derivative of q. Lobatto methods grant this constraint by construction, as their polynomials describing the trajectory for v are the time derivatives of those for q, but the same cannot be said for the Gauss and Radau methods. This is problematic for such methods, as then they cannot guarantee that qddot = g(q, qdot, u, t) at the collocation points. On their negative side, Lobatto methods cannot be used to solve initial value problems, as given the values of u at the collocation points they generate an overconstrained system of equations for the states. In this paper, we propose a Legendre-Gauss collocation method that retains the advantages of the usual Lobatto, Gauss, and Radau methods, while avoiding their shortcomings. The collocation scheme we propose is applicable to solve initial value problems, preserves the consistency between the polynomials for v and q, and ensures that qddot = g(q, qdot, u, t) at the collocation points.This work has been partially supported by the Spanish Agencia Estatal de Investigación under the KINODYN+ project, with reference PID2020-117509GB-I00/AEI/10.13039/50110001103

Collocation methods for second order systems

Trabajo presentado en el Robotics: Science and Systems, celebrado en Nueva York (Estados Unidos), del 27 de junio al 1 de julio de 2022Collocation methods for numerical optimal control commonly assume that the system dynamics is expressed as a first order ODE of the form xdot = f(x,u,t), where x is the state and u the control vector. However, in many systems in robotics, the dynamics adopts the second order form qddot = g(q,qdot,u,t), where q is the configuration. To preserve the first order form, the usual procedure is to introduce the velocity variable v = qdot and define the state as x=(q,v), where q and v are treated as independent in the collocation method. As a consequence, the resulting trajectories do not fulfill the mandatory relationships v(t) = qdot(t) for all times, and even violate qddot = g(q,qdot,u,t) at the collocation points. This prevents the possibility of reaching a correct solution for the problem, and makes the trajectories less compliant with the system dynamics. In this paper we propose a formulation for the trapezoidal and Hermite-Simpson collocation methods that is able to deal with second order dynamics and grants the mutual consistency of the trajectories for q and v while ensuring qddot = g(q,qdot,u,t) at the collocation points. As a result, we obtain trajectories with a much smaller dynamical error in similar computation times, so the robot will behave closer to what is predicted by the solution. We illustrate these points by way of examples, using well-established benchmark problems from the literature

La idea de frontera : estudio del patrimonio natural y cultural de Ágreda

Este proyecto de innovación educativa se presentó en el Congreso Internacional de Innovación en la Educación celebrado en Valladolid los dias 26, 27 y 28 de abril de 2005El Instituto de Enseñanza Secundaria 'Margarita de Fuenmayor' se encuentra en el extremo este de la comunidad autónoma de Castilla y León, colindante con la de Aragón. Su patrimonio es una mezcla de caracteres castellanos, aragoneses y navarros; en una idea de frontera física y cultural. Esta situación fronteriza ha elicitado en su historia la convivencia de tres culturas: cristiana, árabe y judía. Esta peculiaridad es el eje conductor de este proyecto, en un estudio comparativo de la diversidad de Castilla y León. Los objetivos propuestos son: aunar las iniciativas de los distintos departamentos con un eje conductor común de trabajo; diseñar acciones formativas de cara a una posible impartición de una materia o contenido dentro de una materia como es el patrimonio de la comunidad de Castilla y León; entresacar los distintos aspectos naturales y culturales sobre un mismo tema en un trabajo de interdisciplinariedad; responder a las iniciativas y necesidades innovadoras del claustro de profesores del centro; hacer partícipe al resto del profesorado del centro de unos materiales propios e inéditos; articular unos objetivos y unos contenidos didácticos con una propuesta clara de trabajo y aplicación dentro del aula, encontrar un foro compartido de esfuerzo y trabajo en equipo dentro del centro; propiciar el encuentro de experiencias sobre el tema de innovación, indagar en fuentes de investigación locales y provinciales. El equipo docente del centro se propone la elaboración de materiales didácticos sobre el patrimonio de Castilla y León y al mismo tiempo dar a conocer una serie de iniciativas que sobre la investigación del patrimonio cultural se están llevando a cabo por varios miembros del claustro. La metodología de trabajo por un lado es de recopilación e indagación científica e histórica sobre el entorno físico y artístico de la zona, complementándose en una primera fase con una labor de investigación científica, cultural y lingüística sobre los aspectos reseñados; posteriormente un periodo eminentemente didáctico de elaboración de materiales con las últimas tecnologías de cara a una aplicación directa en el aula o en las distintas áreas que a su vez comprenden distintos departamentos. La organización del trabajo, se divide en cuatro partes: 1ú Reuniones de todos los participantes en el proyecto, en las que se ha distribuido el trabajo para realizar en grupos más pequeños o individualmente. Este material elaborado por los distintos departamentos se ponía en común con los demás miembros del grupo, para ir realizando -entre todos- el guión que luego los encargados de la maquetación utilizarían para dar la apariencia final al proyecto: CD y actividades.2ú Reuniones por departamentos (grupos más pequeños): cada departamento o grupos de departamentos (áreas de contenidos afines) trabaja centrado en su tema: Estudio comparativo y diferencial de las culturas cristianas, judías y árabes en la Edad Media ( Arte. Mercado. La ciudad. Alimentación. Religión. Música. Vestido. Oficios. La Tecnología. (Unidades de medida. Constelaciones y alquimia. ) ; Estudio comparativo y diferencial del medio natural respecto a las cuencas del Duero y del Ebro ( La frontera vegetal. La frontera animal. La frontera del agua. La frontera del clima. La frontera mineral.) ; Apoyo lingüístico a las dos áreas generales . Elaboración de glosario; Apoyo pedagógico para la elaboración de actividades. Actividades sobre el tema 'La mujer'. 3- Trabajo de investigación y recopilación de materiales realizado en grupos o individualmente: búsqueda de imágenes, música, trabajo de investigación de archivo y búsqueda de documentación. 4- Trabajo individual: individualmente o en grupo se digitalizan imágenes y texto. El resultado final es un material didáctico sobre el patrimonio natural y cultural de la vertiente oriental de Castilla y León, realizado pensando en los alumnos de cuarto curso de educación secundaria presentado en dos apartados: el CD y láminas de actividades complementarias.Junta de Castilla y LeónCastilla y LeónConsejería de Educación. Dirección General de Universidades e Investigación; Monasterio de Nuestra Señora de Prado, Autovía Puente Colgante, s. n.; 47071 Valladolid; Tel. +34983411881; Fax +34983411939ES