Singularly perturbed periodic and semiperiodic differential operators

Qualitative and spectral properties of the form-sums S_{\pm}(V):=D_{\pm}^{2m}\dotplus V(x),\quad m\in \mathbb{N}, in the Hilbert space $L_{2}(0,1)$ are studied. Here the periodic $(D_{+})$ and the semiperiodic $(D_{-})$ differential operators are $D_{\pm}: u\mapsto -i u'$, and $V(x)$ is a 1-periodic complex-valued distribution in the Sobolev spaces $H_{per}^{-m\alpha}$, $\alpha\in [0,1]$.Comment: 13 page

On solvability of inhomogeneous boundary-value problems in Sobolev—Slobodetskiy spaces

We investigate the most general class of Fredholm one-dimensional boundary-value problems in the Sobolev—Slobodetskiy spaces. Boundary conditions of these problems may contain a derivative of the whole or fractional order. It is established that each of these boundary-value problems corresponds to a certain rectangular numerical characteristic matrix with kernel and cokernel having the same dimension as the kernel and cokernel of the boundary- value problem. The sufficient conditions for the sequence of the characteristic matrices of a specified boundary-value problems to converge are found.Досліджено найбільш широкий клас нетерових одновимірних крайових задач у просторах Соболєва—Слободецького. Крайові умови в них можуть містити похідні розв'язку цілого або дробового порядку. Встановлено, що кожній із таких крайових задач відповідає деяка прямокутна числова характеристична матриця, вимірність ядра і коядра якої збігаються відповідно з вимірністю ядра і коядра крайової задачі. Знайдені достатні умови збіжності послідовності характеристичних матриць розглянутих крайових задач.Исследуется наиболее широкий класс нетеровых одномерных краевых задач в пространствах Соболева—Слободецкого. Краевые условия в них могут содержать производные решения целого или дробного порядка. Показано, что каждой из таких краевых задач соответствует некоторая прямоугольная числовая характеристическая матрица, размерность ядра и коядра которой совпадают соответственно с размерностью ядра и коядра краевой задачи. Найдены достаточные условия сходимости последовательности характеристических матриц рассмотренных краевых задач

On Fredholm parameter-dependent boundary-value problem in Sobolev spaces

We consider the most general class of linear inhomogeneous boundary-value problems for systems of r-th order ordinary differential equations whose solutions and right-hand sides belong to appropriate Sobolev spaces. For parameter-dependent problems from this class, we prove a constructive criterion under which their solutions are continuous in the Sobolev space with respect to the parameter. We also prove a two-sided estimate for the degree of convergence of these solutions to the solution of the nonperturbed problem.Досліджено найбільш загальний клас лінійних неоднорідних крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь довільного порядку, розв'язки і права частина яких належать до відповідних просторів Соболєва. Для залежних від параметрів задач цього класу встановлено конструктивний критерій неперервності за параметром розв'язків у просторі Соболєва. Знайдено двосторонню оцінку швидкості збіжності цих розв'язків до розв'язку незбуреної задачі.Исследуется наиболее общий класс линейных неоднородных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка, решения и правые части которых принадлежат соответствующим пространствам Соболева. Для зависящих от параметров задач из этого класса установлен конструктивный критерий того, что решения задач непрерывны по параметру в пространстве Соболева. Найдена двусторонняя оценка скорости сходимости этих решений к решению невозмущенной задачи

Cantor and band spectra for periodic quantum graphs with magnetic fields

We provide an exhaustive spectral analysis of the two-dimensional periodic square graph lattice with a magnetic field. We show that the spectrum consists of the Dirichlet eigenvalues of the edges and of the preimage of the spectrum of a certain discrete operator under the discriminant (Lyapunov function) of a suitable Kronig-Penney Hamiltonian. In particular, between any two Dirichlet eigenvalues the spectrum is a Cantor set for an irrational flux, and is absolutely continuous and has a band structure for a rational flux. The Dirichlet eigenvalues can be isolated or embedded, subject to the choice of parameters. Conditions for both possibilities are given. We show that generically there are infinitely many gaps in the spectrum, and the Bethe-Sommerfeld conjecture fails in this case.Comment: Misprints correcte

A Survey on the Krein-von Neumann Extension, the corresponding Abstract Buckling Problem, and Weyl-Type Spectral Asymptotics for Perturbed Krein Laplacians in Nonsmooth Domains

In the first (and abstract) part of this survey we prove the unitary equivalence of the inverse of the Krein--von Neumann extension (on the orthogonal complement of its kernel) of a densely defined, closed, strictly positive operator, $S\geq \varepsilon I_{\mathcal{H}}$ for some $\varepsilon >0$ in a Hilbert space $\mathcal{H}$ to an abstract buckling problem operator. This establishes the Krein extension as a natural object in elasticity theory (in analogy to the Friedrichs extension, which found natural applications in quantum mechanics, elasticity, etc.). In the second, and principal part of this survey, we study spectral properties for $H_{K,\Omega}$, the Krein--von Neumann extension of the perturbed Laplacian $-\Delta+V$ (in short, the perturbed Krein Laplacian) defined on $C^\infty_0(\Omega)$, where $V$ is measurable, bounded and nonnegative, in a bounded open set $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ belonging to a class of nonsmooth domains which contains all convex domains, along with all domains of class $C^{1,r}$, $r>1/2$.Comment: 68 pages. arXiv admin note: extreme text overlap with arXiv:0907.144