Lacunary formal power series and the Stern-Brocot sequence

Let $F(X) = \sum_{n \geq 0} (-1)^{\varepsilon_n} X^{-\lambda_n}$ be a real lacunary formal power series, where $\varepsilon_n = 0, 1$ and $\lambda_{n+1}/\lambda_n > 2$. It is known that the denominators $Q_n(X)$ of the convergents of its continued fraction expansion are polynomials with coefficients $0, \pm 1$, and that the number of nonzero terms in $Q_n(X)$ is the $n$th term of the Stern-Brocot sequence. We show that replacing the index $n$ by any 2-adic integer $\omega$ makes sense. We prove that $Q_{\omega}(X)$ is a polynomial if and only if $\omega \in {\mathbb Z}$. In all the other cases $Q_{\omega}(X)$ is an infinite formal power series, the algebraic properties of which we discuss in the special case $\lambda_n = 2^{n+1} - 1$.Comment: to appear in Acta Arithmetic

Liouville, le découvreur des nombres transcendants

La première phrase du mémoire de Liouville du 13 mai 1844 est en elle-même tout un programme : « Des classes très étendues de quantités dont la valeur n’est ni rationnelle ni même réductible à des irrationnelles algébriques ». Autrement dit l’existence en grande quantité de nombres qui ne sont ni irrationnels ni algébriques (solutions d’une équation algébrique) : Liouville est le premier à avoir cette idée ; il explique même comment construire un nombre non algébrique. C’est la découverte des nombres non algébriques, qui seront désignés comme nombres de Liouville avant d’être appelés nombres transcendants. Liouville examine la décomposition en fraction continue d’un nombre x solution d’une équation algébrique. Il démontre simplement que le dénominateur du « quotient incomplet » (développement en fraction continue arrêté à un stade donné) du nombre algébrique x est borné par une formule donnée. Il construit ensuite des nombres dont le développement en fraction continue ne respecte pas cette formule : ils sont donc non algébriques. Par la suite, le mathématicien français Hermite démontra le caractère transcendant de e (1873), et le mathématicien allemand Lindemann celle de π (1882)

Liouville, le découvreur des nombres transcendants

En deux notes de 1844 aux Comptes rendus de l’Académie des Sciences, Joseph Liouville établit l’existence des nombres transcendants. Qu’est-ce qu’un nombre transcendant ? Un nombre x est dit algébrique s’il est solution d’une équation polynomiale de type : où a, b,…., g, h sont des entiers donnés non tous nuls. Ainsi, par exemple, les nombres suivants sont algébriques : . Si le polynôme ne peut se factoriser en deux polynômes, n s’appelle le degré du nombre algébrique. Les nombres de degré ..

Leçon 13

Conclusions générales sur le rôle des investissements dans l’économie française de 1945 à 1950 Les indications chronologiques qui ont été données précédemment conduisent à un certain nombre de conclusions qui s’appliquent à l’ensemble de la période considérée. La première de ces conclusions découle d’une comparaison, somme toute satisfaisante en elle-même. De 1919 à 1939, la France a traversé une période de torpeur économique et même, dans certains domaines, de décadence. Notre revenu nation..