Aimed control of the frequency spectrum of eigenvibrations of elastic plates with a finite number of degrees of freedom of masses by superimposing additional constraints

As is known, for some elastic systems with a finite number of degrees of freedom of masses, for which the directions of motion of the masses are parallel and lie in the same plane, methods have been developed for creating additional constraints that purposefully change the spectrum of natural frequencies. In particular, theory and algorithm for the formation of aimed additional constraints have been developed for the rods, the introduction of each of which does not change any of the modes of natural vibrations, but only increases the value of only one frequency, without changing the values of the remaining frequencies. The distinctive paper is devoted to the method of forming a matrix of additional stiffness coefficients corresponding to such aimed constraint in the problem of natural vibrations of rods. This method can also be applied to solving a similar problem for elastic systems with a finite number of degrees of freedom, in which the directions of motion of the masses are parallel, but not lie in the same plane. In particular, such systems include plates. However, the algorithms for the formation of aimed additional constraints, developed for rods and based on the properties of rope polygons, cannot be used without significant changes in a similar problem for plates. The method for the formation of design constraint schemes that purposefully change the spectrum of frequencies of natural vibrations of elastic plates with a finite number of degrees of freedom of masses, will be considered in the next work. © 2021, ASV Publishing House. All rights reserved

Критерий минимальной материалоемкости полки стержня двутаврового сечения при варьировании ее толщины и очертания ширины при ограничениях на величину критической силы или первой частоты собственных колебаний в двух главных плоскостях инерции сечения

We have already presented original criterion of minimum material consumption within the design of the outline of the width of the I-shaped bar and the stability constraints or restriction to the value of the first natural frequency in one principal plane of inertia of the cross-section. This paper is devoted in its turn to a criterion for the minimum material capacity of the I-shaped bar with a variation in its thickness and outline of the width, with restrictions to the value of the critical force or restriction to the value of the first natural frequency in two principal planes of inertia of the section.Ранее был сформулирован критерий минимальной материалоемкости при проектировании очертания ширины полок стержней двутаврового поперечного сечения и ограничениях по устойчивости или величины первой собственной частоты в одной главной плоскости инерции сечения. В данной работе формулируется критерий минимальной материалоемкости полки стержня двутаврового сечения при варьировании её толщины и очертания ширины при ограничениях на величину критической силы или первой частоты собственных колебаний в двух главных плоскостях инерции сечения

Assessment of the proximity of design to minimum material capacity solution of problem of optimization of the flange width of i-shaped cross-section rods with allowance for stability constraints or constraints for the value of the first national frequency and strength requirements

There are known methods for optimizing the flange width of I-shaped cross-section rods with stability constraints or the constraints for the value of the first natural frequency. Corresponding objective function has the form of the volume of the flange material for the case when only the flange width varies and the cross-section height, wall thickness and flange thickness are specified. Special criterion for assessment of proximit y of corresponding an optimal solution to the design of minimal material capacity was formulated for the considering problem. In this case, the resulting solution may not meet some other unaccounted constraints, for example, strength requirements. Modification of solution in order to meet previously unaccounted constraints does not al-low researcher to consider such design as optimal. In the distinctive paper allowance for strength requirements, stability constraints or constraints for the value of the first natural frequency are proposed within considering problem of optimization. Special approach is formulated, which proposes to assess proximity to the design of minimum of material capacity obtained as a result of optimization. Increment of the objective function and criteria corresponding to constrains and restrictions are under consideration within computational process. © 2020, ASV Publishing House. All rights reserved

Критерий минимальной материалоемкости полки стержня двутаврового сечения при варьировании ее толщины и очертания ширины при ограничениях на величину критической силы или первой частоты собственных колебаний в двух главных плоскостях инерции сечения

We have already presented original criterion of minimum material consumption within the design of the outline of the width of the I-shaped bar and the stability constraints or restriction to the value of the first natural frequency in one principal plane of inertia of the cross-section. This paper is devoted in its turn to a criterion for the minimum material capacity of the I-shaped bar with a variation in its thickness and outline of the width, with restrictions to the value of the critical force or restriction to the value of the first natural frequency in two principal planes of inertia of the section.Ранее был сформулирован критерий минимальной материалоемкости при проектировании очертания ширины полок стержней двутаврового поперечного сечения и ограничениях по устойчивости или величины первой собственной частоты в одной главной плоскости инерции сечения. В данной работе формулируется критерий минимальной материалоемкости полки стержня двутаврового сечения при варьировании её толщины и очертания ширины при ограничениях на величину критической силы или первой частоты собственных колебаний в двух главных плоскостях инерции сечения

Критерии оценки оптимальных решений при формировании стержней с кусочно-постоянным изменением поперечных сечений при органичениях по устойчивости или на величину первой собственной частоты. Часть 1: Теоретические основы

The special properties of optimal systems have been already identified. Besides, criteria has been formulated to assess the proximity of optimal solutions to the minimal material consumption. In particular, the criteria were created for rods with rectangular and I-beam cross-section with stability constraints or constraints for the value of the first natural frequency. These criteria can be used for optimization when the cross sections of a bar change continuously along its length. The resulting optimal solutions can be considered as an idealized object in the sense of the limit. This function of optimal design allows researcher to assess the actual design solution by the criterion of its proximity to the corresponding limit (for example, regarding material consumption). Such optimal project can also be used as a reference point in real design, for example, implementing a step-by-step process of moving away from the ideal object to the real one. At each stage, it is possible to assess the changes in the optimality index of the object in comparison with both the initial and the idealized solution. One of the variants of such a process is replacing the continuous change in the size of the cross sections of the rod along its length with piecewise constant sections. Boundaries of corresponding intervals can be selected based on an ideal feature, and cross-section dimensions can be determined by one of the optimization methods. The distinctive paper is devoted to criteria that allow researcher providing reliable assessment of the endpoint of the optimization process.Ранее были выявлены особые свойства оптимальных систем и сформулированы критерии, оценивающие близость оптимальных решений к минимально материалоемкому. В частности, были со зданы критерии, для стержней с прямоугольным и двутавровым поперечным сечением при ограничениях по устойчивости или на величину первой частоты собственных колебаний. Эти критерии применимы при оптимизации в случаях, когда поперечные сечения стержня непрерывно изменяются по его длине. Полученные при этом оптимальные решения могут рассматриваться как идеализированный объект в смысле предельного. Данная функция оптимального проекта позволяет оценивать реальное конструкторское решение по критерию его близости к предельному (например, по материалоемкости). Такой оптимальный проект также может использоваться и как ориентир при реальном проектировании, например, реализуя поэтапный процесс отхода от идеального объекта к реальному. При этом на каждом этапе появляется возможность оценки изменения показателя оптимальности объекта по сравнению, как с начальным, так и с идеализированным решением. Одни из вариантов такого процесса состоит в замене непрерывного изменения размеров поперечных сечений стержня по его длине соответствующими кусочно-постоянными участками. Границы участков могут выбираться на основе идеального объекта, а размеры поперечных сечений определяться одним из методов оптимизации. В настоящей статье предлагаются критерии, позволяющие надежно оценивать момент окончания процесса такой оптимизации

Использование критерия минимальной материалоемкости стержней при ограничениях по устойчивости для случая кратной критической нагрузки

As it is known, special criteria are formulated to evaluate the obtained solution of some optimization problems. In particular, we formulate a criterion that allows us to estimate the proximity of the decision on the rod of the lowest weight and the restrictions on the resistance to the minimum material-intensive for rectilinear rods for certain types of cross sections. The criterion is based on the analysis of stresses from bending moments arising from the loss of stability. If the least critical force is not a multiple, then the form of loss of stability and the corresponding diagram of moments are the only ones. At multiplicity of the least critical load there are multiple forms of loss of stability, and any of their linear combination is also its own form. To estimate the obtained solution, it is necessary to form a combination of multiple forms of buckling and the corresponding diagram of bending moments, which will serve as the basis for the use of the criterion. This paper proposes an approach that allows to determine such a combination of multiple forms, which will be the basis for the application of the criterion of proximity of the obtained solution to the minimum material-intensive.Как известно, для оценки полученного решения некоторых задач оптимизации сформулированы специальные критерии. В частности, сформулирован критерий, позволяющий оценить для прямолинейных стержней при определенных типах поперечных сечений близость решения о стержне наименьшего веса и ограничениях по устойчивости к минимально материалоемкому. Критерий основан на анализе напряжений от изгибающих моментов, возникающих при потере устойчивости. Если наименьшая критическая сила не кратная, то форма потери устойчивости и соответствующая ей эпюра моментов единственные. При кратности наименьшей критической нагрузки возникают кратные формы потери устойчивости, и любая их линейная комбинация также является собственной формой. Для оценки полученного решения необходимо сформировать комбинацию кратных форм потери устойчивости и соответствующую ей эпюру изгибающих моментов, которая и будет служить основой для использования критерия. В данной статье предлагается подход, позволяющий определять такую комбинацию кратных форм, которая станет основой для применения критерия близости полученного решения к минимально материалоемкому

Assessment of the Proximity of Design to Minimum Material Capacity Solution of Problem of Optimization of the Flange Width of I-Shaped Cross-Section Rods with Allowance for Stability Constraints or Constraints for the Value of the First Natural Frequency and Strength Requirements

There are known methods for optimizing the flange width of I-shaped cross-section rods with stability constraints or the constraints for the value of the first natural frequency. Corresponding objective function has the form of the volume of the flange material for the case when only the flange width varies and the crosssection height, wall thickness and flange thickness are specified. Special criterion for assessment of proximity of corresponding an optimal solution to the design of minimal material capacity was formulated for the considering problem. In this case, the resulting solution may not meet some other unaccounted constraints, for example, strength requirements. Modification of solution in order to meet previously unaccounted constraints does not allow researcher to consider such design as optimal. In the distinctive paper allowance for strength requirements, stability constraints or constraints for the value of the first natural frequency are proposed within considering problem of optimization. Special approach is formulated, which proposes to assess proximity to the design of minimum of material capacity obtained as a result of optimization. Increment of the objective function and criteria corresponding to constrains and restrictions are under consideration within computational process.Известны методы оптимизации ширины полок стержней двутаврового поперечного сечения при ограничениях по устойчивости или величине первой частоты собственных колебаний, функции цели в виде объема материала полок, для случая, когда варьируется только ширина полок, а высота сечения, толщина стенки и толщина полки заданы. Для этого варианта постановки задачи был сформулирован критерий оценки близости такого оптимального решения к проекту минимальной материалоемкости. При этом в полученном решении могут не выполняться некоторые другие неучтённые ограничения, например, по прочности. Изменение полученного решения с целью удовлетворения неучтённым ранее ограничениям не позволяет считать такой проект оптимальным. В данной статье предлагается в рассматриваемой задаче учитывать в процессе оптимизации при ограничениях по устойчивости или величине первой частоты собственных колебаний ещё и условии прочности. Формулируется подход, в котором предлагается для оценки близости к проекту минимальной материалоемкости решения, полученного в результате оптимизации, наряду с анализом в процессе вычислений изменений величины приращения функции цели, использовать ещё и критерии, характеризующие каждое из принятых ограничений

About the solution of a structural class optimization problems. Part 1: Formulation of theoretical foundations problems of the solution procedure

Earlier, the criterion of minimum material consumption was formulated within the outline design of the I-shaped bar width and the stability constraints or restriction to the value of the first natural frequency in one principal plane of the cross-section inertia. In the distinctive paper, we formulate a criterion for the minimum material capacity of the I-shaped bar with a variation in its thickness and outline of the width, with restrictions on the value of the critical force or restriction to the value of the first natural frequency in two principal planes of the section inertia. © Published under licence by IOP Publishing Ltd

The solution of structural class optimization problems. Part 2: Numerical examples

Earlier, the criterion of minimum material consumption was formulated within the design of the I-shaped bar width outline and the stability constraints or restriction to the value of the first natural frequency in one principal plane of the cross-section inertia. In the distinctive paper, we formulate a criterion for the minimum material capacity of the I-shaped bar with a variation in its thickness and outline of the width, with restrictions on the critical force value or restriction to the value of the first natural frequency in two principal planes of the section inertia. Numerical examples are presented. © Published under licence by IOP Publishing Ltd

Критерии оценки оптимальных решений при формировании стержней с кусочно-постоянным изменением поперечных сечений при органичениях по устойчивости или на величину первой собственной частоты. Часть 2: Примеры расчета

The special properties of optimal systems have been already identified. Besides, criteria has been formulated to assess the proximity of optimal solutions to the minimal material consumption. In particular, the criteria were created for rods with rectangular and I-beam cross-section with stability constraints or constraints for the value of the first natural frequency. These criteria can be used for optimization when the cross sections of a bar change continuously along its length. The resulting optimal solutions can be considered as an idealized object in the sense of the limit. This function of optimal design allows researcher to assess the actual design solution by the criterion of its proximity to the corresponding limit (for example, regarding material consumption). Such optimal project can also be used as a reference point in real design, for example, implementing a step-by-step process of moving away from the ideal object to the real one. At each stage, it is possible to assess the changes in the optimality index of the object in comparison with both the initial and the idealized solution. One of the variants of such a process is replacing the continuous change in the size of the cross sections of the rod along its length with piecewise constant sections. Boundaries of corresponding intervals can be selected based on an ideal feature, and cross-section dimensions can be determined by one of the optimization methods. The distinctive paper is devoted to criteria that allow researcher providing reliable assessment of the endpoint of the optimization process, and the second part of the material presented contains corresponding numerical examples, prepared in accordance with the theoretical foundations given in the first part.Ранее были выявлены особые свойства оптимальных систем и сформулированы критерии, оценивающие близость оптимальных решений к минимально материалоемкому. В частности были со зданы критерии, для стержней с прямоугольным и двутавровым поперечным сечением при ограничениях по устойчивости или на величину первой частоты собственных колебаний. Эти критерии применимы при оптимизации, когда поперечные сечения стержня непрерывно изменяются по его длине. Полученные при этом оптимальные решения могут рассматриваться как идеализированный объект в смысле предельного. Эта функция оптимального проекта позволяет оценивать реальное конструкторское решение по критерию его близости к предельному (например, по материалоемкости). Такой оптимальный проект также может использоваться и как ориентир при реальном проектировании, например, реализуя поэтапный процесс отхода от идеального объекта к реальному. При этом на каждом этапе появляется возможность оценки изменения показателя оптимальности объекта по сравнению, как с начальным, так и с идеализированным решением. Одни из вариантов такого процесса состоит в замене непрерывного изменения размеров поперечных сечений стержня по его длине кусочно-постоянными участками. Границы участков могут выбираться на основе идеального объекта, а размеры поперечных сечений определяться одним из методов оптимизации. В данной статье предлагаются критерии, позволяющие надежно оценивать момент окончания процесса такой оптимизации, причем представляемая вторая часть материала публикации содержит пример расчета в соответствии с изложенными в первой части теоретическими основами