Equilibrium states for the Bose gas

The generating functional of the cyclic representation of the CCR (Canonical Commutation Relations) representation for the thermodynamic limit of the grand canonical ensemble of the free Bose gas with attractive boundary conditions is rigorously computed. We use it to study the condensate localization as a function of the homothety point for the thermodynamic limit using a sequence of growing convex containers. The Kac function is explicitly obtained proving non-equivalence of ensembles in the condensate region in spite of the condensate density being zero locally.Comment: 21 pages, no figure

Bose-Einstein condensation under the influence of attractive boundary conditions.

Eén van de meest spectaculaire fenomenen in de hedendaagse fysica is Bos e-Einstein condensatie dat in 1924-1925 voorspeld werd door Satyendra Nath Bose en Albert Einstein. Deze faseovergang treedt op in een gas van Bose deeltjes wanneer de temperatuur voldoende laag, of de deeltjesdichtheid voldoende groot wordt. Hierbij hopen de deeltjes zich op in de laagste energietoestand van het systeem. Een belangrijke stimulans in het onderzoek naar BEC, was de ontdekking van de supervloeibaarheid van helium in het begin van de twintigste eeuw. Bij temperaturen onder de kritische waarde van 2.17 K wordt helium supervloeibaar en stroomt het zonder wrijving. De grote doorbraak op het experimentele vlak kwam er in het jaar 1995 toen Amerikaanse wetenschappers erin slaagden om een Bose-Einstein condensaat te creëren in een verdund gas van rubidium atomen. Deze doorbraak stimuleerde de theoretische zoektocht naar een dieper beg rijpen van het voorkomen van condensatie in systemen met fysisch realistische inter acties. Het enige theoretische resultaat dat tot nu toe gekend is, is het bewijs van Bose-Einstein condensatie in homogene interagerende Bose gassen waarbij een hiaat in het ééndeeltjesspectrum is geïntroduceerd. Dit werk is bes chreven in de doctoraatsthesis van Joris Lauwers in 2003. Eén van de methoden om ee n hiaat in het spectrum te creëren, is het gebruik van attractieve randvoorwaard en. Deze randvoorwaarden zorgen ervoor dat de deeltjes de neiging hebben om tegen de randen van een hyperkubusvormig volume te kleven. In deze thesis word t de invloed van dergelijke randvoorwaarden nagegaan in verschillende systeme n van bosonen. In een eerste deel beschouwen we het vrije Bose gas. De Kac-dichtheid ge eft het verband aan tussen het canonisch en het groot-canonisch ensemble en is o p die manier een goede indicator voor de mogelijke equivalentie van ensembles. Voor het vrije Bose gas met attractieve randvoorwaarden tonen wij aan dat de Kac-dichtheid een niet-triviale functie is. Dit wil dus zeggen dat er ge en equivalentie van ensembles is, net zoals dat reeds geweten was voor het vrije Bose gas met Dirichlet of Neumann randvoorwaarden. Verder is het condens aat in het vrije Bose gas met attractieve randvoorwaarden niet homogeen verdeel d, maar wordt het sterk aangetrokken door de randen. De berekening van de genere rende functies van de CCR-algebra van observabelen laat zien dat het condensaa t zich in dit systeem bevindt in de hoeken van de hyperkubus. Verder worden voor de eerste keer in de geschiedenis enkele interagerend e systemen met attractieve randen bestudeerd. Eerst beschouwen we het gemiddelde veld (mean-field) of het imperfecte Bose gas waarbij de interactie tussen twe e niet-gecondenseerde deeltjes onafhankelijk is van de afstand tussen deze twee deeltjes (we beschouwen geen interactie in de condensatiemodes). Met beh ulp van de energie-entropie-correlatieongelijkheid kunnen we nuttige grenzen voo r de correlatiefuncties afleiden, waarmee we uiteindelijk Bose-Einstein conde nsatie bewijzen voor voldoende lage temperaturen of voldoende hoge dichtheden. Tenslotte bewijzen we dat het condensaat gelijk verdeeld is over de twee eigentoestanden die horen bij het laagste energieniveau. Daarna breiden we het resultaat voor het imperfecte Bose gas uit tot een klasse van diagonale modellen. Tensl otte beschouwen we een interagerend Bose gas met attractieve randvoorwaarden en met algemene paar-interacties. Voor een welbepaalde klasse van limietevenwichtstoestanden kan Bose-Einstein condensatie bewezen worden in de twee eigentoestanden die horen bij het laagste energieniveau.status: publishe