Dynamics of the symmetric eigenvalue problem with shift strategies

A common algorithm for the computation of eigenvalues of real symmetric tridiagonal matrices is the iteration of certain special maps $F_\sigma$ called shifted $QR$ steps. Such maps preserve spectrum and a natural common domain is ${\cal T}_\Lambda$, the manifold of real symmetric tridiagonal matrices conjugate to the diagonal matrix $\Lambda$. More precisely, a (generic) shift s \in \RR defines a map $F_s: {\cal T}_\Lambda \to {\cal T}_\Lambda$. A strategy \sigma: {\cal T}_\Lambda \to \RR specifies the shift to be applied at $T$ so that $F_\sigma(T) = F_{\sigma(T)}(T)$. Good shift strategies should lead to fast deflation: some off-diagonal coordinate tends to zero, allowing for reducing of the problem to submatrices. For topological reasons, continuous shift strategies do not obtain fast deflation; many standard strategies are indeed discontinuous. Practical implementation only gives rise systematically to bottom deflation, convergence to zero of the lowest off-diagonal entry $b(T)$. For most shift strategies, convergence to zero of $b(T)$ is cubic, $|b(F_\sigma(T))| = \Theta(|b(T)|^k)$ for $k = 3$. The existence of arithmetic progressions in the spectrum of $T$ sometimes implies instead quadratic convergence, $k = 2$. The complete integrability of the Toda lattice and the dynamics at non-smooth points are central to our discussion. The text does not assume knowledge of numerical linear algebra.Comment: 22 pages, 4 figures. This preprint borrows heavily from the unpublished preprint arXiv:0912.3376 but is adapted for a different audienc

Proposta de metodologia e estudo de foto-identificação das baleias-de-Bryde (Balaenoptera edeni e B. brydei) nos Açores e Madeira

Dissertação de Mestrado em Estudos Integrados dos Oceanos.A baleia-de-Bryde (Balaenoptera edeni) descrita pela primeira vez por J. Anderson em 1878 é uma espécie de baleia-de-barbas que é avistada nos Açores e na Madeira, tendo uma distribuição mundial em águas tropicais e subtropicais. Muito pouco é conhecido sobre as populações do Atlântico Norte. Os objetivos principais deste trabalho consistiram em criar um catálogo de foto-identificação "on-line" que esteja disponível a qualquer interessado e definir uma metodologia para esta espécie. Tentou-se também verificar se existiam reavistamentos entre os Açores e a Madeira e tentar perceber se é a espécie que ocorre nestes arquipélagos é Balaenoptera edeni ou a espécie Balaenoptera brydei. Toda a informação recolhida e analisada proveio de avistamentos e fotografias das baleias-de-Bryde, obtidos de entidades de "whale whatching". Os resultados mostraram que nos Açores nem todos os anos são observadas as baleias-de-Bryde, mas na Madeira são mais frequentes. Em ambos os arquipélagos os meses de julho a setembro são os que apresentam mais avistamentos. Foram identificados 73 indivíduos desde 2004 a 2014, dos quais 4 deles foram observados nos Açores e na Madeira. Foram avistados um par fêmea-cria nos Açores e três pares na Madeira tendo sido observado o mesmo indivíduo com crias diferentes num espaço de 2 anos. As características observadas nos dois arquipélagos indicam tratar-se da espécie Balaenoptera brydei porém são necessários mais dados para se retirarem conclusões. Seria importante para a continuação deste estudo que os dados continuassem a ser retirados, e que todos os avistamentos tivessem posição geográfica disponível. Além disso ter dados das Canárias era igualmente relevante para conhecer a dinâmica desta espécie na região biogeográfica da Macaronésia.ABSTRACT: The Bryde's whale, first described by J. Anderson in 1878, it's a baleen whale sighted in the Azores and Madeira. Very little is known about the populations of the North Atlantic. The main objectives of this study were to create an on-line catalogue of photo-identification that is available to anyone and to define a methodology for this study on this species. We also tried to study re-sightings of the Bryde's whale between the Azores and Madeira and to understand if the species that is sighted in the both archipelagos is Balaenoptera edeni or Balaenoptera brydei. All the data gathered and analyzed came from the sightings and photos of Bryde’s whale and provided by whale watching companies. The results shown that the in the Azores the Bryde's whales are not sighted every year but in Madeira they are more frequently seen. On both archipelagos the months with the biggest amount of sightings for this species are from July to September. Seventy three different individuals were identified since 2004 to 2014 and four of them were sighted in both archipelagos. One pair cow-calf was seen in the Azores and three pairs in Madeira. One of the individual sighted was seen with two different calves in two years. The observations from both archipelagos suggest that the species occurring in this areas are Balaenoptera brydei, although more data is needed to reach to a conclusion. It would be very important to continue this study in the future to gather more data with the GPS position. The availability of data from Canaries would be very interesting to understanding the dynamics of this species on the Macaronesia biogeographic area