Feedback effects and endogenous risk in financial markets

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LOST IN CONTAGION? BUILDING A LIQUIDATION INDEX FROM COVARIANCE DYNAMICS

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Modélisation mathématique du risque endogène dans les marchés financiers

This thesis proposes a mathematical framework for studying feedback effects and endogenous risk in financial markets. We propose a multi-period model of a financial market with multiple assets, which takes into account the price impact generated by large shifts in supply and demand from financial institutions. Chapter 1 reviews the existing empirical and theoretical literature on feedback effects and motivates this thesis. Chapter 2 studies feedback effects from distressed selling in a large fund, in the case of a linear price impact model, while Chapter 3 extends such results to feedback effects from fire sales in multiple funds and allows for a general price impact function. Chapter 4 studies the impact of a large institutional investor keeping a fixed allocation/portion invested in each asset. We quantify the excess supply and demand generated in each case. The multi-period price dynamics in the presence of feedback effects is modeled as a Markov chain and we exhibit conditions under which it converges weakly, as the time step of the discrete-time model goes to zero, to the solution of a stochastic differential equation, for which we give the multi-dimensional drift and volatility explicitly. The study of the quadratic covariation process of the diffusion limit allows us to quantify the impact of feedback effects on the dependence structure of asset returns and the endogenous risk generated: under our model assumptions, we show that we can compute the impact of feedback effects on fund volatility and the spillover effects to other funds investing in the same assets. Finally, we give conditions for the identifiability of model parameters from time series of asset prices and build an estimator for the fund flows generated by systematic supply and demand by large financial institutions. We show that such estimator is consistent and derive a central limit theorem in Chapter 3. We illustrate our estimation procedure with two empirical examples.Cette these propose un cadre mathematique pour la modelisation du risque endogene dans les marches financiers. Le risque endogene designe le risque genere, et amplifie, au sein du systeme financier lui-meme, par les differents acteurs economiques et leurs interactions, par opposition au risque exogene, genere par des chocs exterieurs au systeme financier. Notre etude est motivee par l'observation des differentes crises financieres passees, qui montre le role central du risque endogene dans les marches financiers. Ainsi, les periodes de crises sont souvent associees a des phenomenes de liquidation/ventes 'eclair ('fire sales'), qui g'en'erent, de mani'ere endog'ene, une importante volatilit'e pour les actifs financiers et des pics inattendus de corr'elations entre les rendements de ces actifs, entraˆınant de fortes pertes pour les investisseurs. Alors que la structure de d'ependance entre les rendements d'actifs financiers est traditionnellement mod'elis'ee de mani'ere exog'ene, les faits d'ecrits pr'ec'edemment sugg'erent qu'une telle mod'elisation exog'ene ne peut rendre compte du risque endog'ene observ'e dans les march'es financiers. L'id'ee principale de cette th'ese est de distinguer entre deux origines pour la corr'elation entre actifs. La premi'ere est exog'ene et refl'ete une corr'elation fondamentale. La seconde est endog'ene et trouve son origine dans l'offre et la demande syst'ematiques g'en'er'ees par les grandes institutions financi'eres. Nous mod'elisons la dynamique en temps discret des prix d'actifs financiers d'un march'e multi-actifs par une chaˆıne de Markov dans lequel le rendement de chaque actif, 'a chaque p'eriode k, se d'ecompose en un terme al'eatoire - qui repr'esente les fondamentaux de l'actif et est independant du passe - et un terme d'offre/demande syst'ematique, genere de maniere endogene. Dans chaque chapitre, nous caracterisons mathematiquement cette offre endog'ene et son impact sur les prix d'actifs financiers. Nous exhibons des conditions sous lesquelles la chaıne de Markov converge faiblement, lorsque le pas de temps du modele discret tend vers zero, vers la solution d'une equation differentielle stochastique dont nous donnons le drift et la volatilite multi-dimensionnels. L''etude du processus de covariation quadratique de la limite diffusive nous permet de quantifier l'impact de l'offre et demande endogenes systematiques sur la structure de dependance entre actifs. Enfin, nous developpons des outils statistiques et econometriques visant a resoudre le probleme inverse d'identification et d'estimation des parametres de notre modele a partir de donnees de prix d'actifs financiers. Le Chapitre 1 'etudie le risque endogene genere par un fonds sujet a des ventes forcees en raison d'investisseurs qui sortent de leurs positions lorsque le fonds sous-performe et que sa valeur passe en-dessous d'un seuil. Nous modelisons l'offre et la demande provenant de telles ventes forcees en introduisant une 'fonction de liquidation' f qui mesure la vitesse 'a laquelle les investisseurs sortent de leurs positions dans le fonds. Nous supposons que l'offre en exces due au fonds sur chaque actif impacte le rendement de l'actif de maniere lineaire et nous explicitons les conditions pour que la dynamique de prix en temps discret soit une chaˆıne de Markov dans (R∗ )n, ou' n est le nombre d'actifs dans le marche. Nous exhibons des conditions sous lesquelles le modele discret converge faiblement vers une diffusion en temps continu et calculons les drifts et volatilites multi- 7 dimensionnels de la dynamique de prix en temps continu. L'etude de la covariation quadratique de la limite diffusive permet d'expliciter l'impact des ventes forcees dans le fonds sur la structure de d'ependance entre les actifs financiers. En particulier, nous montrons que la matrice de covariance realisee s''ecrit comme la somme d'une matrice de covariance fondamentale et une matrice de covariance en exces, qui depend des positions du fonds, de la liquidite des actifs et de la trajectoire passee des prix et qui est nulle lorsqu'il n'y a pas de ventes forcees. Nous prouvons alors que cet impact endogene augmente la volatilite du fonds en question, exactement dans les scenarios ou' le fonds subit des pertes. Nous calculons 'egalement son impact sur la volatilit'e d'autres fonds investissant dans les memes actifs et prouvons l'existence d'une relation d'orthogonalite entre les positions du fonds de reference et d'un autre fonds telle que, si cette relation d'orthogonalite est verifiee, des ventes forcees dans le fonds de reference n'affectent pas la volatilit'e de l'autre fonds. Le Chapitre 2 etend les resultats du Chapitre 1 au cas de plusieurs fonds et d'un impact quelconque (pas necessairement lineaire) de l'offre aggregee en exces provenant de ventes forcees dans ces fonds, sur les rendements de prix d'actifs. Nous exhibons des conditions sous lesquelles le mod'ele discret converge faiblement vers une diffusion en temps continu. La fonction de volatilite de la limite diffusive ne depend de la fonction de d'impact qu''a travers sa derivee premiere en zero, montrant qu'un modele de d'impact lineaire capture completement l'impact des effets de retroaction dus aux ventes forcees dans les differents fonds sur la structure de dependance entre actifs. Nous calculons la matrice de covariance realisee, en fonction des positions liquid'ees, en particulier dans un cas simple ou' les liquidations ont lieu 'a vitesse constante, dans un intervalle de temps fix'e et nous donnons des conditions assurant que cette relation peut etre inversee et les volumes de liquidations identifi'es. Nous construisons alors un estimateur du volume de liquidation dans chaque actif, dont nous prouvons la consistance, et pour lequel nous d'erivons un th'eor'eme central limite, qui nous permet de construire un test statistique testant si, pendant une periode donnee, des liquidations ont eu lieu. Nous illustrons notre procedure d'estimation avec deux exemples empiriques: le 'quant event' d'aouˆt 2007 et les liquidations suivant la faillite de Lehman Brothers en Automne 2008. Le Chapitre 3 etudie l'impact d'un investisseur institutionnel investissant une portion constante de sa richesse dans chaque actif (strategie fixed-mix). Pour un vecteur d'allocations donne, nous prouvons l'existence d'une unique strategie fixed-mix autofinancante. A chaque p'eriode, le prix des n actifs et la valeur du fonds fixed-mix sont obtenus comme la solution d'un probl'eme de point fixe. Nous montrons que, sous certaines conditions que nous explicitons, le modele discret converge vers une limite diffusive, pour laquelle nous calculons la covariance et la correlation realisee 'a l'ordre un en liquidit'e. Nos r'esultats montrent que la presence d'investisseurs institutionnels peut modifier les correlations de facon significative. Nous calculons les vecteurs propres et valeurs propres de la matrice de correlation realisee (a' l'ordre un en liquidite). L''etude des drifts de la limite continue nous permet de calculer les rendements esperes des actifs et montre qu'en raison de la presence de l'investisseur institutionnel, les rendements esp'er'es des actifs avec grand (resp. faible) drift fondamental, compares au rendement fondamental du fonds, diminuent (resp. augmentent). Nous calculons, dans un exemple simple, la strategie efficiente pour un critere moyenne-variance et montrons qu'elle est differente de la strategie optimale fondamentale (sans le fonds). L''etude de la frontiere optimale dans cet exemple montre qu'un investisseur prenant en compte l'impact de l'investisseur institutionnel peut ameliorer son rendement pour un niveau de risque donne

Fire sales forensics: measuring endogenous risk

We propose a tractable framework for quantifying the impact of fire sales on the volatilityandcorrelationsofassetreturnsinamulti-assetsetting. Ourresultsenable to quantify the impact of fire sales on the covariance structure of asset returns and provide a quantitative explanation for spikes in volatility and correlations observed during liquidation of large portfolios. These results allow to test for the presence of fire sales during a given period of time and to estimate the impact and magnitude of fire sales from observation of market prices: we give conditions for the identifiability of model parameters from time series of asset prices, propose an estimator for the magnitude of fire sales in each asset class and study the consistency and large sample properties of the estimator. We illustrate our estimation methodology with two empirical examples: the hedge fund losses of August 2007 and the Great Deleveraging following the default of Lehman Brothers in Fall 2008

FIRE SALES FORENSICS: MEASURING ENDOGENOUS RISK

International audienceWe propose a tractable framework for quantifying the impact of loss‐triggered fire sales on portfolio risk, in a multi‐asset setting. We derive analytical expressions for the impact of fire sales on the realized volatility and correlations of asset returns in a fire sales scenario and show that our results provide a quantitative explanation for the spikes in volatility and correlations observed during such deleveraging episodes. These results are then used to develop an econometric framework for the forensic analysis of fire sales episodes, using observations of market prices. We give conditions for the identifiability of model parameters from time series of asset prices, propose a statistical test for the presence of fire sales, and an estimator for the magnitude of fire sales in each asset class. Pathwise consistency and large sample properties of the estimator are studied in the high‐frequency asymptotic regime. We illustrate our methodology by applying it to the forensic analysis of two recent deleveraging episodes: the Quant Crash of August 2007 and the Great Deleveraging following the default of Lehman Brothers in Fall 2008

Risk-Based Capital Requirements and Optimal Liquidation in a Stress Scenario*

International audienceWe develop a simple yet realistic framework to analyze the impact of an exogenous shock on a bank’s balance-sheet and its optimal response when it is constrained to maintain its risk-based capital ratio above a regulatory threshold. We show that in a stress scenario, capital requirements may force the bank to shrink the size of its assets and we exhibit the bank’s optimal strategy as a function of regulatory risk-weights, asset market liquidity, and shock size. When financial markets are perfectly competitive, we show that the bank is always able to restore its capital ratio above the required one. However, for banks constrained to sell their loans at a discount and/or with a positive price impact when selling their marketable assets (large banks) we exhibit situations in which the deleveraging process generates a death spiral. We then show how to calibrate our model using annual reports of banks and study in detail the case of the French bank BNP Paribas. Finally, we suggest how our simple framework can be used to design a systemic capital surcharge

Pour des stress-tests bancaires réglementaires plus transparents

International audienceLes auteurs proposent une méthode alternative de stress-tests, où les actifs de la banque sont directement stressés, qui prend en compte les éventuels effets de rétroaction (vente d’actifs, coûts de liquidations), et utilisant uniquement des données publiques. L’objectif est de supprimer l’effet « boîte noire » reproché aux stress-tests actuels

A LIQUIDATION RISK ADJUSTMENT FOR VALUE AT RISK AND EXPECTED SHORTFALL

International audienceThis paper proposes an intuitive and flexible framework to quantify liquidation risk for financial institutions. We develop a model where the “fundamental” dynamics of assets is modified by price impacts from fund liquidations. We characterize mathematically the liquidation schedule of financial institutions and study in detail the fire sales resulting endogenously from margin constraints when a financial institution trades through an exchange. Our study enables to obtain tractable formulas for the value at risk and expected shortfall of a financial institution in the presence of fund liquidation. In particular, we find an additive decomposition for liquidation-adjusted risk measures. We show that such a measure can be expressed as a “fundamental” risk measure plus a liquidation risk adjustment that is proportional to the size of fund positions as a fraction of asset market depths. Our results can be used by risk managers in financial institutions to tackle liquidity events arising from fund liquidations better and adjust their portfolio allocations to liquidation risk more accurately

Risk management for whales

International audienceWe propose framework for modeling portfolio risk which integrates market risk with liquidation costs which may arise in stress scenarios. Our model provides a systematic method for computing liquidation-adjusted risk measures for a portfolio. Calculation of Liquidation-adjusted VaR (LVaR) for sample portfolios reveals a substantial impact of liquidation costs on portfolio risk for portfolios with large concentrated positions

Strategic fire-sales and price-mediated contagion in the banking system

International audienceWe consider a price-mediated contagion framework in which each bank, after an exogenous shock, may have to sell assets in order to comply with regulatory constraints. Interaction between banks takes place only through price impact. We characterize the equilibrium of the strategic deleveraging problem and we calibrate our model to publicly-available data, the US banks that were part of the 2015 regulatory stress-tests. We then consider a more sophisticated model in which each bank is exposed to two risky assets (marketable and not marketable) and is only able to sell the marketable asset. We calibrate our model using the six banks with significant trading operations and we show that, depending on the price impact, the contagion of failures may be significant. Our results may be used to refine current stress testing frameworks by incorporating potential contagion mechanisms between banks