Note on Mangasarian–Fromovitz-Like Constraint Qualifications

We consider constraint qualifications in nonlinear programming which can be reduced to the classical Mangasarian–Fromovitz condition with the help of a new parametrization of the set of feasible points

On Local Error Bound in Nonlinear Programs

Numerous efforts in the literature are devoted to studying error bounds in optimization problems. The existence of local error bounds is closely related with constraint qualifications. It is well-known that some constraint qualifications imply error bounds. We consider constraint qualifications, which do not impose as strong requirements on the structure of the optimization problem as traditional conditions do. On their base necessary and sufficient conditions of error bounds are derived

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Nonlinear programming problems are studied. Necessary second order optimality conditions are proved under minimal assumptions about constraints.Необходимые условия второго порядка играют важную роль в теории оптимизации. Это объясняется тем, что большинство используемых на практике численных алгоритмов сводится к нахождению стационарных точек, удовлетворяющих условиям оптимальности первого порядка. В то же время многие задачи оптимизации, особенно задачи высокой размерности, имеют достаточно большое число стационарных точек. В связи с этим возникает проблема усиления необходимых условий за счет привлечения необходимых условий второго порядка для удаления неоптимальных стационарных точек. В данной статье рассматриваются так называемые слабые необходимые условия оптимальности второго порядка и доказывается их справедливость при менее жестких требованиях по сравнению с известными ранее результатами

ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ТОЧЕК В ЗАДАЧАХ ДВУХУРОВНЕВОГО ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Bilevel programming problems are considerably difficult for numerical analysis. Despite the vast amount of literature and research dedicated to studying them, there are no universal methods to solve them and numerous publications are concerned mainly with identifying particular subsets of problems that can be efficiently analyzed. Linear bilevel programming problems are considered, and an algorithm for computing their stationary points is developed in this paper.Двухуровневые задачи являются весьма сложным объектом для численного анализа. Несмотря на то, что их изучению посвящена обширная литература, не существует универсальных методов их решения и многочисленные публикации сводятся в основном к выделению отдельных классов доступных для анализа задач. В данной статье рассматриваются линейные задачи двухуровневого программирования, для которых строится алгоритм вычисления стационарных точек

К УСЛОВИЯМ РЕГУЛЯРНОСТИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

The article is devoted to the condition of R-regularity (Error Bound Property) in problems of mathematical programming. This condition plays an important role in analyzing the convergence of numerical optimization algorithms and it is a fairly general condition of regularity (constraint qualification) in problems of mathematical programming. The article obtains new sufficient conditions for the presence of R-regularity in problems of mathematical programming.Статья посвящена условию R-регулярности (Error Bound Property) в задачах математического программирования. Данное условие играет важную роль в анализе сходимости численных алгоритмов оптимизации и является достаточно общим условием регулярности (constraint qualification) в задачах математического программирования. В статье получаются новые достаточные условия наличия R-регулярности в задачах математического программирования

Достаточное условие псевдолипшицевости системы параметрических равенств и неравенств

We study the Lipschitz-like properties of multivalued mappings defined by functional parametric equalities and inequalities. Sufficient conditions of pseudo-Lipschitzian continuity are obtained on the basе of the regularity condition of the relaxed constant positive linear dependence (RCPLD) by Andreani et al. The results of the article generalize some known sufficient conditions for pseudo-Lipschitzian continuity of the systems of parametric equalities and inequalities.Исследуются липшицевы свойства многозначных отображений, заданных в виде системы параметрических равенств и неравенств. Доказываются достаточные условия псевдолипшицевости (pseudo-Lipschitzian continuity or Aubin property) на основе ослабленного условия регулярности постоянства положительно-линейной зависимости (RCPLD). За счет использования более слабых условий регулярности полученные результаты обобщают некоторые известные ранее достаточные условия псевдолипшицевости для многозначных отображений, заданных системой функциональных равенств и неравенств

УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ В ЗАДАЧАХ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Weak regularity conditions are studied. Necessary and sufficient conditions of R -regularity are obtained. The relations between different types of regularity conditions are investigated.Условия регулярности играют важную роль в задачах нелинейного программирования, поскольку гарантируют выполнение необходимых условий оптимальности Куна-Таккера. Среди условий регулярности наиболее известным и широко применяемым является условие Мангасаряна-Фромовица. В то же время, несмотря на сравнительную эффективность условий Мангасаряна-Фромовица, существуют достаточно широкие классы задач оптимизации, в которых это условие не выполняется, однако для которых можно указать более слабые условия регулярности, гарантирующие справедливость необходимых условий Куна-Таккера. Целью данной статьи является исследование задач оптимизации, удовлетворяющих ослабленным условиям регулярности

On Lipschitz-like continuity of a class of set-valued mappings

We study set-valued mappings defined by solution sets of parametric systems of equalities and inequalities. We prove Lipschitz-like continuity of these mappings under relaxed constant rank constraint qualification

О ЧАСТИЧНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЗАДАЧИ ДВУХУРОВНЕВОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕЙ НИЖНЕГО УРОВНЯ

Numerous publications are devoted to bilevel programming problems. Despite a seemingly simple statement these problems are considerably difficult for numerical solving, and a significant part of research in the field of bilevel programming is devoted to identifying particular subsets of problems that allow for a numerical solution. One of such subsets consists of bilevel problems that possess the partial calmness property. Global partial calmness of bilevel programming problems with a linear lower-level problem is proven in this article.Задачам двухуровневого программирования (bilevel programming) посвящены многочисленные публикации. Несмотря на внешнюю простоту постановки, данные задачи весьма сложны для численного решения, и значительная часть исследований в двухуровневом программировании сводится к выделению отдельных классов доступных для численного анализа задач. Одним из таких классов являются двухуровневые задачи, обладающие свойством частичной устойчивости (partial calmness). В статье доказывается глобальная частичная устойчивость задачи двухуровневого программирования с линейной задачей нижнего уровня

К условию R-регулярности в математическом программировании

This article is devoted to the Error Bound property (also named R-regularity) in mathematical programming problems. This property plays an important role in analyzing the convergence of numerical optimization algorithms, a topic covered by multiple publications, and at the same time it is a relatively generic constraint qualification that guarantees the satisfaction of the necessary Kuhn – Tucker optimality conditions in mathematical programming problems. In the article, new sufficient conditions for the error bound property are described, and it’s also shown that several known necessary conditions are insufficient. The sufficient conditions obtained can be used to prove the regularity of a large class of sets including sets that cannot be proven regular by other known constraints.Исследуется условие R-регулярности (Error Bound) в задачах математического программирования, которое играет важную роль в анализе сходимости численных алгоритмов оптимизации, что подтверждается многочисленными публикациями, и в то же время является достаточно общим условием регулярности (constraint qualification), обеспечивающим справедливость необходимых условий оптимальности Куна – таккера в задачах математического программирования. В статье представлены новые достаточные условия наличия R-регулярности в задачах математического программирования, а также показано, что известные необходимые условия не являются достаточными. Полученные достаточные условия позволяют доказать наличие R-регулярности у довольно широкого класса множеств, в том числе и у таких, для которых не выполняются другие известные условия