Exact solutions for some modifications of the nonlinear Cahn–Hilliard equation

The exact travelling wave solutions for convective, higher-order convective, and convectiveviscous Cahn–Hilliard equations are obtained. Without any additional restrictions on the parameters, the solutions with non-zero propagation velocity exist only for an asymmetric potential. However, for an additional constraint on the higher-order convective term or for a special balance between nonlinearity and viscosity, the non-zero velocity exists for a symmetric potential as well. In the latter case, the exact two-wave solution is obtained; asymptotically, it converges to the well-known static kink solution.Отримано точнi розв’язки у виглядi бiжучої хвилi для конвективного, конвективного з бiльшим ступенем нелiнiйностi та конвективно-в’язкого рiвняння Кана–Хiлларда. Без будь-яких додаткових обмежень на параметри розв’язки з ненульовою швидкiстю iснують тiльки для асиметричного потенцiалу. Однак при додатковому обмеженнi на конвективний член старшого ступеня або у випадку спецiального балансу мiж нелiнiйнiстю та в’язкiстю розв’язки з ненульовою швидкiстю iснують i для симетричного потенцiалу. Для останнього випадку отримано i точний двохвильовий роз’язок; асимптотично вiн збiгається до вiдомого статичного кiнк-роз’язку.Получены точные решения в виде бегущей волны для конвективного, конвективного с более высокой степенью нелинейности и конвективно-вязкого уравнений Кана–Хилларда. Без каких-либо дополнительных ограничений на параметры решения с ненулевой скоростью распространения существуют только для асимметричного потенциала. Однако при дополнительном ограничении на конвективный член старшего порядка или для случая специального баланса между нелинейностью и вязкостью решения с ненулевой скоростью существуют и для симметричного потенциала. Для последнего случая получено и точное двухволновое решение; асимптотически оно сходится к известному статическому кинк-решению

Two consecutive heterogeneous reactions in two-phase system

We consider diffusion of species into a semi-infinite domain, where two consequent reactions take place. The exact self-similar solutions are obtained both for initial absence and presence of the first reaction’s product in the media. The inequalities determining the mutual positions of the fronts are also obtained.В работе рассмотрена диффузия веществ в полубесконечное пространство, в котором протекают две последовательные реакции. Получены аналитические автомодельные решения для случаев с изначаль- ным наличием и отсутствием в среде продукта первой реакции. Получены неравенства, определяющие взаимное расположение фронтов реакций.У роботi розглянуто дифузiю речовин у напiвбезконечний простiр, у якому протiкають двi послiдовнi реакцiї. Отримано аналiтичнi автомодельнi рiшення для випадкiв iз початковою наявнiстю i вiдсутнiстю в середовищi продукту першої реакцiї. Отримано нерiвностi, що визначають взаємне розташування фронтiв реакцiй.В работе рассмотрена диффузия веществ в полубесконечное пространство, в котором протекают две последовательные реакции. Получены аналитические автомодельные решения для случаев с изначальным наличием и отсутствием в среде продукта первой реакции. Получены неравенства, определяющие взаимное расположение фронтов реакций

Cylindrical wiggler based on the solenoid loaded with different magnetic properties rings

The electrodynamics analysis of topography of constant magnetic fields originating in spatially periodic system is carried out. The system under investigation is the solenoid inside which rings from materials with different magnetic properties are periodically placed. The system of equations connecting amplitudes of spatial harmonics of a field is obtained. This system is parsed numerically. Requirements are determined when in the spatial structure of a magnetic field the dominating role is played by the main harmonic. The amplitudes of longitudinal and transverse components of the modulated magnetic field as a function of the ring sizes, magnetic and electric properties of ring materials are investigated. The amplitudes of the fields obtained in the full consideration of electrodynamics are compared with the amplitudes of a periodic magnetic field, obtained in an impedance approximation is carried out.Проведено електродинамічний розрахунок топографії постійних магнітних полів, що виникають у просторово-періодичній системі, яка являє собою соленоїд, періодично навантажений кільцями з різними магнітними властивостями.Проведен электродинамический расчет топографии постоянных магнитных полей, создаваемых в пространственно-периодической системе, представляющей собой соленоид, внутри которого периодически размещаются кольца из материалов с различными магнитными свойствами

Theory of heterogeneous / homogeneous catalytic reaction with presaturation

In this communication we present a theoretical study of chemical reactions in a system of solid particles, immersed in a fluid environment. Our primary concern here is investigation of the systems of catalytic particles in a liquid media; however with some slight modifications our results are applicable to aerosol systems as well. We consider a second-order reaction, which proceeds both homogeneously in the environment, and heterogeneously at surfaces of catalyst particles. The Langmuir adsorption-desorption kinetics is considered explicitly. For definiteness, we are considering the so-called "three-step mechanism'' of the heterogeneous reaction.Мы рассматриваем одну реакцию второго порядка, которая протекает как гомогенно в окружающей среде, так и гетерогенно на поверхностях каталитических частиц. Адсорбционно-десорбционная ленгмюровская кинетика учитывается явно. Для определённости мы рассматриваем так называемый "трёхступенчатый механизм'' гетерогенной реакции.Ми розглядаємо одну реакцію другого порядку, що протікає як гомогенно в оточуючому середовищі, так і гетерогенно на поверхнях каталітичних частин. Адсорбційно-дисорбційна ленгмюрівська кінетика враховується явно. Для визначеності ми розглядаємо так званий "триступінчатий механізм'' гетерогенної реакції

Formation of periodical magnetic fields by sequence of rings with different electric and magnetic properties

The electrodynamics analysis of topography of magnetic fields originating in spatially periodic system is carried out. The system under investigation is the solenoid inside which rings made from materials differ in electric and magnetic properties are periodically placed. The system of equations connecting amplitudes of spatial harmonics of the field is obtained. This system is parsed numerically. Requirements are determined when in the spatial structure of a magnetic field the dominating role is played by the main harmonic. The amplitudes of longitudinal and transverse components of the modulated magnetic field as a function of the ring sizes, current frequency, magnetic and electric properties of rings materials are investigated. The amplitudes of the fields obtained in the full electrodynamics consideration are compared with the amplitudes of a periodic magnetic field, obtained in an impedance approximation.У роботі проведено електродинамічний розрахунок топографії постійних магнітних полів, що виникають у просторово-періодичній системі, яка являє собою соленоїд, періодично навантажений кільцями з різними електричними та магнітними властивостями.Проведен электродинамический расчет топографии постоянных магнитных полей, создаваемых в пространственно-периодической системе, представляющей собой соленоид, внутри которого периодически размещаются кольца из материалов с различными электрическими и магнитными свойствами