Κβάντωση με Ολοκληρώματα Διαδρομών στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου και Επανακανονικοποίηση της Θεωρίας φ^4

Η παρούσα εργασία είναι μια προσπάθεια να αναπτυχθεί ο φορμαλισμός των ολοκληρωμάτων διαδρομής από την μη σχετικιστική κβαντική μηχανική έως και την επανακανονικοποίηση και την ομάδα επανακανονικοποίησης στην κβαντική θεωρία πεδίου. Συγκεκριμένα, στα πρώτα κομμάτια της εργασίας πραγματευόμαστε τα ολοκληρώματα διαδρομής στην μη σχετικιστική κβαντομηχανική εισάγοντας την έννοια του διαδότη και βλέποντας πως μπορεί αυτός να εκφραστεί ως ένα τέτοιο ολοκλήρωμα. Στην συνέχεια υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα διαδρομής για τον εξαναγκασμένο αρμονικό ταλαντωτή, βλέπουμε πως εφαρμόζονται τα ολο/τα διαδρομών στην σκέδαση και υπολογίζουμε σημαντικές ποσότητες για την γενίκευση στην κβαντική θεωρία πεδίου όπως τα "Στοιχεία Πίνακα Τελεστών Θέσης" και το πλάτος μετάβασης από το κενό στο κενό. Σε επόμενο κεφάλαιο μιλάμε για την γενίκευση στην κβαντική θεωρία πεδίου και συνεχίζουμε με υπολογισμούς σε αυτήν. Συγκεκριμένα ορίζονται οι βασικές γεννήτριες συναρτήσεις συναρτήσεων Green : Γ , Z ,W και υπολογίζονται για την ελεύθερη θεωρία. Ακόμα, αφού αναφερθούμε στον σαγματικό υπολογισμό της W εισάγουμε την έννοια των αλληλεπιδράσεων και το πως γίνεται η θεωρία διαταραχών με αυτές. Έτσι υπολογίζουμε διάφορες ποσότητες που αφορούν την θεωρία φ^4 και βρίσκουμε τους κανόνες Feynman στον χώρο των θέσεων και ορμών. Στην συνέχεια πραγματευόμαστε τους απειρισμούς που προκύπτουν στα διαγράμματα Feynman και βλέπουμε πως αυτοί γίνονται διαχειρίσιμοι με την τεχνική της διαστατικής ομαλοποίησης. Στο τελευταίο κεφάλαιο λοιπόν επανακανονικοποιούμε την θεωρία φ^4 έως και σε 2η δεύτερη τάξη της σταθεράς σύζευξης με την μέθοδο των αντισταθμιστικών όρων. Επίσης, εισάγουμε την εξίσωση ομάδας επανακανονικοποίησης, βρίσκουμε την λύση της και υπολογίζουμε τις συναρτήσεις β, γd , γm. Τελικά βλέπουμε πως συνδέονται οι μονοσωματιδιακές μη αναγωγήσιμες συναρτήσεις Green σε διαφορετικές κλίμακες ορμών και αναφερόμαστε στα σταθερά σημεία της συνάρτησης βήτα.The present graduate thesis is an effort to discuss the Path - Integral formalism from non - relativistic Quantum Mechanics to QFT. Specifically, in the first sections of this thesis we deal with Path Integrals in non - relativistic Quantum Mechanics introducing the concept of the propagator and seeing how it can be written as a Path Integral. Then, we compute the Path Integral for the Forced Harmonic Oscillator, see how Path Integrals are used in scattering and compute some important quantities for the generalisation to QFT like the “Matrix Elements of Position Operators” and the “Vacuum to Vacuum Amplitude”. In a followning chapter we deal with the generalisation to QFT and continue with computations in this theory. To be more specific, we define the basic generating functions (for Green's functions): Γ, Z, W and we compute them for the free theory. Also, we deal with the saddle point evaluation of W and introduce the concept of interactions and how perturbation theory can be applied to them. Having done this, we compute certain quantities that concern φ^4 theory and find the Feynman rules in both position and momentum space. Then we discuss the infinities that occur in Feynman diagramms and see how they can be handled with with Dimensional Regularization. In the last chapter we renormalize φ^4 theory up to second order of the coupling constant using the Counter - Term method. Also, we introduce the renormalization group equation, find its solution and compute the β, γd , γm functions. Finally, we see how One Particle Irreducible Green's functions in different momentum scales are connected and talk about beta function's fixed points

The Lion, the Witch, and the Wormhole: Ensemble averaging the symmetric product orbifold

We consider the ensemble average of two dimensional symmetric product orbifold CFTs $\text{Sym}^N(\mathbb{T}^D)$ over the Narain moduli space. We argue for a bulk dual given by $N$ copies of an abelian Chern-Simons theory coupled to topological gravity, endowed with a discrete gauge symmetry exchanging the $N$ copies. As a check of this proposal, we calculate the ensemble average of various partition and correlation functions of the symmetric product orbifold theory and compare the resulting expressions to gauge theory quantities in the bulk. We comment on the ensemble average of the tensionless string partition function on $\text{AdS}_3 \times \text{S}^3 \times \mathbb T^4$ by considering the specific case of $D=4$ with the addition of supersymmetry.Comment: 84 pages, 25 figure