A structure theorem for level sets of multiplicative functions and applications

Given a level set $E$ of an arbitrary multiplicative function $f$, we establish, by building on the fundamental work of Frantzikinakis and Host [13,14], a structure theorem which gives a decomposition of $\mathbb{1}_E$ into an almost periodic and a pseudo-random parts. Using this structure theorem together with the technique developed by the authors in [3], we obtain the following result pertaining to polynomial multiple recurrence. Let $E=\{n_1<n_2<\ldots\}$ be a level set of an arbitrary multiplicative function with positive density. Then the following are equivalent: - $E$ is divisible, i.e. the upper density of the set $E\cap u\mathbb{N}$ is positive for all $u\in\mathbb{N}$; - $E$ is an averaging set of polynomial multiple recurrence, i.e. for all measure preserving systems $(X,\mathcal{B},\mu,T)$, all $A\in\mathcal{B}$ with $\mu(A)>0$, all $\ell\geq 1$ and all polynomials $p_i\in\mathbb{Z}[x]$, $i=1,\ldots,\ell$, with $p_i(0)=0$ we have $$\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N \mu\big(A\cap T^{-p_1(n_j)}A\cap\ldots\cap T^{-p_\ell(n_j)}A\big)>0.$$ We also show that if a level set $E$ of a multiplicative function has positive upper density, then any self-shift $E-r$, $r\in E$, is a set of averaging polynomial multiple recurrence. This in turn leads to the following refinement of the polynomial Szemer\'edi theorem (cf. [4]). Let $E$ be a level set of an arbitrary multiplicative function, suppose $E$ has positive upper density and let $r\in E$. Then for any set $D\subset \mathbb{N}$ with positive upper density and any polynomials $p_i\in\mathbb{Q}[t]$, $i=1,\ldots,\ell$, which satisfy $p_i(\mathbb{Z})\subset\mathbb{Z}$ and $p_i(0)=0$ for all $i\in\{1,\ldots,\ell\}$, there exists $\beta>0$ such that the set $$\left\{\,n\in E-r:\overline{d}\Big(D\cap (D-p_1(n))\cap \ldots\cap(D-p_\ell(n)) \Big)>\beta \,\right\}$$ has positive lower density.Comment: 32 pages. Formerly part of arXiv:1705.0732

Solvent-free microwave-assisted synthesis of aripiprazole

Aripiprazole is a widely used antipsychotic approved by the FDA (Food and Drug Administration) in 2002. Methods for preparation of aripiprazole mainly involve the use of expensive and toxic solvents, and the reaction time can be even several hours long. Our method allows to obtain aripiprazole with a yield of approximately 70–80% over just a few minutes using solvent-free conditions in the presence of PTC (Phase Transfer Catalysts) and microwave radiation

Rope transport ground systems supporting urban public transport – historical solutions

W artykule przedstawiono historyczne, powstałe na przełomie XIX i XX wieku, rozwiązania techniczne różnych środków transportu miejskiego połączonych z naziemnymi systemami transportu linowego – tzw. połączeń hybrydowych. Opisano pierwsze połączenie systemów tramwajów linowych z wagonami kolejowymi, które funkcjonowało w Nowym Jorku jako środek transportu zapewniający przeprawę przez Most Brookliński.Przedstawiona została rozbudowa tego systemu, która zapewniła przepustowość przewozową na poziomie 30 milionów osób rocznie. Artykuł przedstawia również rozwiązania hybrydowe kolei linowo-terenowych służących do transportu tramwajów konnych i elektrycznych w Cincinnati oraz w Hoboken, USA. Były one szeroko stosowane w miejscach o dużych nachyleniach, których tramwaje nie były w stanie pokonać. Ponadto szczegółowo opisano istniejące rozwiązanie tramwaju elektrycznego we włoskim Trieście, którego trasa jest częściowo obsługiwana przez kolej linowo- terenową. Artykuł zawiera opis poszczególnych elementów tego systemu i udoskonalenia wprowadzane podczas całego okresu eksploatacji. Kolej linowo-terenowa, obsługująca najbardziej stromy odcinek trasy, została również opisana z uwzględnieniem zmieniających się rozwiązań technicznych pojazdów na przestrzeni prawie osiemdziesięcioletniej eksploatacji.The article presents technical solutions of historical means of public transport connected with rope transport ground systems operated at the turn of the 19 century – so called „the hybrids”. Especially it shows a connection between elements of a cable car system with train carriages, which was installed and operated at the Brooklyn Bridge in New York up to the year 1908. Extension of this transportation system has enabled carrying up to 30 million passengers annually. Additionally, the purpose-built funiculars with platforms are presented in the article. They were adapted to carry horse and electric trams to ensure consistency of transport at local hills in Cincinnati and in Hoboken, USA. Moreover, the article presents characteristics of electric tram operating in Trieste, in Italy which has a track partly supported by a funicular system. The main elements of this transportation system and their development during the operation period are described. The funicular system, installed at the steepest part of the track, was described in terms of technical solutions for carriers during eighty years of the operation