On the Second-Order Shape Derivative of the Kohn-Vogelius Objective Functional Using the Velocity Method

The exterior Bernoulli free boundary problem was studied via shape optimization technique. The problem was reformulated into the minimization of the so-called Kohn-Vogelius objective functional, where two state variables involved satisfy two boundary value problems, separately. The paper focused on solving the second-order shape derivative of the objective functional using the velocity method with nonautonomous velocity fields. This work confirms the classical results of Delfour and Zolésio in relating shape derivatives of functionals using velocity method and perturbation of identity technique

Methods of shape optimization in free boundary problems

In dieser Arbeit werden Methoden der Gebietsoptimierung zur Loesung des Aeusseren Bernoulli freien Randwertproblemes betrachtet. Der Fokus der Arbeit liegt auf einem Zugang, bei welchem ein Gebiet ein Kohn-Vogelius aehnliches Funktional durch Loesen von zwei simultanen partiellen Differentialgleichungen minimiert. Eine davon ist ein Dirichlet Problem, die andere ein Neumann Problem. Die Eulerschen Ableitungen erster und zweiter Ordnung werden ueber verschiedene Zugaenge berechnet. Ein Zugang zur Eulerschen Ableitung erster Ordnung umgeht die Berechnung der Gebietsableitungen fuer die Zustandsgroessen durch deren Hoelder stetige Abhaengigkeit vom zugrunde liegenden Gebiet. Ein anderer Zugang hingegen beruht auf der Verwendung der Gebietsableitungen der Zustandsgroessen. Diese Technik benoetigt jedoch mehr Glattheit der Zustandsgroessen, welche durch eine hoehere Glattheit des zugrundeliegenden Gebietes sichergestellt werden muss. Es wird auch bemerkt, dass die Eulersche Ableitung des Kostenfunktionals ohne adjungierte Variable formuliert werden kann. Die Berechnung der zweiten Eulerschen Ableitung verwendet die materielle und die Gebietsableitung deer Zustandsgroessen. Drei Zugaenge werden vorgestellt. Keine dieser Techniken benoetigt jedoch weder die Gebietsableitung zweiter Ordnung der Zustandsgroessen, noch ist der Einsatz von adjungierten Variablen erforderlich. Der resultierende Ausdruck fuer die zweite Ableitung des Kostenfunktionals vereinfacht sich erheblich in der Loesung des Bernoulli Problems.In this work, the exterior Bernoulli free boundary problem is being considered. The solution of this problem is studied via shape optimization techniques. In particular, the paper focuses on determining a domain that gives a minimum value for the Kohn-Vogelius-type cost functional by simultaneously solving two PDE constraints. One is a pure Dirichlet boundary value problem and the other is a Neumann boundary value problem. The first- and second-order Eulerian derivatives of the cost functional are computed by several approaches. For the first-order Eulerian derivative one approach used bypasses the computation of the shape derivatives of the state variables by utilizing the Hoelder continuity of the states. A second approach, on the other hand, uses the shape derivatives of the states. This approach however requires more smoothness of the states which is ensured by higher regularity of the domains. It is also observed that the Eulerian derivative of the cost functional can be expressed without an adjoint variable. The computation of the second-order Eulerian derivative is carried out using the material and shape derivatives of the states. Three approaches are presented. We point out that none of these methods requires neither the second-order shape derivative of the states nor the introduction of adjoint variables. The resulting expression considerably simplifies at the solution of the Bernoulli problem.vorgelegt von Jerico B. BacaniAbweichender Titel laut Übersetzung der Verfasserin/des VerfassersZsfassung in dt. und engl. SpracheGraz, Univ., Diss., 2013OeBB(VLID)22735

On the First-Order Shape Derivative of the Kohn-Vogelius Cost Functional of the Bernoulli Problem

The exterior Bernoulli free boundary problem is being considered. The solution to the problem is studied via shape optimization techniques. The goal is to determine a domain having a specific regularity that gives a minimum value for the Kohn-Vogelius-type cost functional while simultaneously solving two PDE constraints: a pure Dirichlet boundary value problem and a Neumann boundary value problem. This paper focuses on the rigorous computation of the first-order shape derivative of the cost functional using the Hölder continuity of the state variables and not the usual approach which uses the shape derivatives of states

On the first-order shape derivative of the Kohn-Vogelius cost functional of the Bernoulli problem

The exterior Bernoulli free boundary problem is being considered. The solution to the problem is studied via shape optimization techniques. The goal is to determine a domain having a specific regularity that gives a minimum value for the Kohn-Vogeliustype cost functional while simultaneously solving two PDE constraints: a pure Dirichlet boundary value problem and a Neumann boundary value problem. This paper focuses on the rigorous computation of the first-order shape derivative of the cost functional using the Hölder continuity of the state variables and not the usual approach which uses the shape derivatives of states