Universal momentum-to-real-space mapping of topological singularities

Topological properties of materials, as manifested in the intriguing phenomena of quantum Hall effect and topological insulators, have attracted overwhelming transdisciplinary interest in recent years. Topological edge states, for instance, have been realized in versatile systems including electromagnetic-waves. Typically, topological properties are revealed in momentum space, using concepts such as Chern number and Berry phase. Here, we demonstrate a universal mapping of the topology of Dirac-like cones from momentum space to real space. We evince the mapping by exciting the cones in photonic honeycomb (pseudospin-1/2) and Lieb (pseudospin-1) lattices with vortex beams of topological charge l, optimally aligned for a chosen pseudospin state s, leading to direct observation of topological charge conversion that follows the rule of l to l+2s. The mapping is theoretically accounted for all initial excitation conditions with the pseudospin-orbit interaction and nontrivial Berry phases. Surprisingly, such a mapping exists even in a deformed lattice where the total angular momentum is not conserved, unveiling its topological origin. The universality of the mapping extends beyond the photonic platform and 2D lattices: equivalent topological conversion occurs for 3D Dirac-Weyl synthetic magnetic monopoles, which could be realized in ultracold atomic gases and responsible for mechanism behind the vortex creation in electron beams traversing a magnetic monopole field

Mapiranje topoloških svojstava fotoničkih rešetki

The study of topological properties of materials started in solid-state systems and was soon expanded to photonic systems. Today, topological photonics is one of the hottest areas of research in physics. In this thesis, we study topological properties and their mappings in photonic lattices. In the first part of this thesis, we study the mapping of topological singularities from the momentum space to the real space. For this, we employ 2D photonic honeycomb and Lieb lattices that have topological singularities in the momentum space in the form of Dirac points. We show that the singularities in the honeycomb and the Lieb lattices can be mapped from the momentum space to the real space. Three ways to explain the mapping are developed: One via the conservation of the total angular momentum and the pseudospin-orbit interaction. Another is via the far-field dynamics during the propagation of laser light through the photonic lattice. The third way is via topology and the Berry phase winding. We show that the topological explanation is fundamental. Based on this, we give a proposal for how our theory can be exploited in a 3D Weyl lattice to map a synthetic Weyl monopole from the momentum space to the real space. In the second part of the thesis, we study the higher-order topological insulators that have corner states that are also bound states in continuum. We study the 2D SSH lattice which is a 2nd-order topological insulator that supports bulk states and topological edge and corner states. We use nonlinearity to couple these states with one another. We show that the corner states couple to the edge states, and not the bulks states, for both the self-focusing and the self-defocusing nonlinearity. We also calculate a topological invariant of the system; its polarization. There is a sharp jump in polarization between the topologically trivial and nontrivial phases. We show that the nonlinear system inherits the jump in polarization from the linear system, and that the polarization can be tuned by the strength of the nonlinearity.U ovom radu proučavamo topološka svojstva fotoničkih rešetki. U prvom dijelu bavimo se preslikavanjem topoloških singulariteta iz impulsnog u realni prostor. U drugom dijelu, bavimo se nelinearnim topološkim izolatorima višeg reda i nasljeđivanjem topoloških svojstava od linearnog sistema. Preslikavanje topoloških singulariteta iz impulsnog u realni prostor demonstriramo u 2D fotoničkim grafenskim i Liebovim rešetkama. U energijskom spektru u impulsnom prostoru, obje rešetke imaju strukturu Blochovih vrpci koje se dotiču u Diracovim točkama. Diracove točke su singulariteti u impulsnom prostoru. Pobuđivanjem modova u blizini Diracove točke pokazali smo da se topološki singularitet preslika iz impulsnog u realni prostor. Taj fenomen možemo objasniti na tri načina. Prvi način je kinematički, pomoću očuvanja orbitalnog angularnog momenta. Naime, hamiltonijan za obje rešetke ima oblik H = κS · k što sugerira da je moguća pseudospin-orbit interakcija. Taj hamiltonijan komutira s operatorom ukupnog angularnog momenta pa je ukupni angularnim moment očuvan. To nam omogućuje da izračunamo topološki naboj na izlazu iz poznatih vrijednosti pseudospina i topološkog naboja na ulazu. Rezultat je konzistentan s preslikavanjem topološkog naboja iz impulsnog u realni prostor. Drugi način objašnjenja preslikavanja je pomoću dinamičke propagacije početnog pobuđenja. Početno pobuđenje razvijemo u bazi svojstvenih stanja hamiltonijana i evoluiramo ga s propagacijskim konstantama koje su svojstvene energije hamiltonijana. Rezultat je moguće raspisati po komponentama pseudospina koje u impulsnom prostoru imaju različite topološke naboje koji se preslikaju iz impulsnog prostora u realni prostor tijekom propagacije. Treći način objašnjenja preslikavanja je pomoću topologije. Za obje rešetke izračunali smo Berryjevu fazu i dobili smo da je jednaka wπ, gdje su namotaji Berryjeve faze w=1 za grafensku rešetku i w=2 za Liebovu rešetku. Pokazali smo i da su namotaji Berryjeve faze jednaki maksimalnoj razlici topoloških naboja u komponentama pseudospina u impulsnom prostoru. Također, pokazali smo da postoje sustavi, poput rastegnutih rešetki, u kojima ukupni angularni moment nije očuvan, kao i sustavi u kojima objašnjenje sa pseudospinom ne funkcionira, ali u kojima se preslikavanje i dalje događa i može se objasniti topologijom. Dakle, topološka slika preslikavanja je fundamentalna i vrijedi za općenito za sustave koji imaju topološke singularitete u impulsnom prostoru. To nam je omogućilo da damo prijedlog za preslikavanje 3D Weylovog sintetičkog monopola iz impulsnog u realni prostor. Nelinearnu kontrolu topoloških izolatora višeg reda demonstrirali smo na 2D fotoničkoj SSH rešetci. 2D SSH rešetka ima unutrašnjost koja je izolator, topološka rubna stanja i topološka kutna stanja koja su vezana stanja u kontinuumu unutrašnjih stanja. Budući da se kutna stanja nalaze u kontinuumu unutrašnjih stanja, za očekivati je da će se pod utjecajem nelinearnosti kutna stanja vezati na unutrašnja stanja. Međutim, demonstrirali smo da se, za slabu nelinearnost, kutna stanja vežu na rubna stanja, a ne na unutrašnja stanja. To sugerira da je nelinearni sustav naslijedio topološka svojstva od linearnog sistema. Eksperiment je proveden u fotoničkoj 2D SSH rešetci i pokazao je da se kutna stanja uistinu vežu na rubna stanja u slučaju slabe nelinearnosti. To je potvrđeno i numeričkim simulacijama. Osim samog vezanja, demonstrirali smo i da postoje oscilacije između kutnih i rubnih stanja tijekom propagacije laserske svjetlosti kroz rešetku. Topologija koja je u pozadini nelinearne kontrole topoloških izolatora višeg reda otkrivena je računanjem polarizacije sistema. Naime, kod topoloških izolatora drugog reda, poput 2D SSH rešetke, polarizacija je topološka invarijanta povezana sa Zakovom fazom. 2D SSH rešetka ima dvije topološke faze koje su karakterizirane dimerizacijskim parametrom c. c 0 odgovara topološki trivijalnoj fazi s polarizacijom P_x = P_y = 0. Računanjem polarizacije za nelinearni sistem, pokazali samo da i dalje postoji oštri skok u polarizaciji oko c = 0 i da je devijacija od linearnog slučaja mala za slabu nelinearnost i da raste linearno sa snagom nelinearnosti. Drugim riječima, ako zamislimo nelinearnost kao malu perturbaciju linearnog sistema, nagli skok u polarizaciji onda je nasljeđe linearnog sistema. Ukratko, u ovom radu istraživali smo preslikavanja topoloških svojstava fotoničkih rešetki. Preslikavanje topoloških singulariteta iz impulsnog u realni prostor od fundamentalne je važnosti za razumijevanje topologije, dok je nelinearna kontrola topoloških izolatora višeg reda zanimljiva za potencijalne primjene kod koji je važna mogućnost vezanja raznih topološki zaštićenih vodljivih stanja

Mapiranje topoloških svojstava fotoničkih rešetki

The study of topological properties of materials started in solid-state systems and was soon expanded to photonic systems. Today, topological photonics is one of the hottest areas of research in physics. In this thesis, we study topological properties and their mappings in photonic lattices. In the first part of this thesis, we study the mapping of topological singularities from the momentum space to the real space. For this, we employ 2D photonic honeycomb and Lieb lattices that have topological singularities in the momentum space in the form of Dirac points. We show that the singularities in the honeycomb and the Lieb lattices can be mapped from the momentum space to the real space. Three ways to explain the mapping are developed: One via the conservation of the total angular momentum and the pseudospin-orbit interaction. Another is via the far-field dynamics during the propagation of laser light through the photonic lattice. The third way is via topology and the Berry phase winding. We show that the topological explanation is fundamental. Based on this, we give a proposal for how our theory can be exploited in a 3D Weyl lattice to map a synthetic Weyl monopole from the momentum space to the real space. In the second part of the thesis, we study the higher-order topological insulators that have corner states that are also bound states in continuum. We study the 2D SSH lattice which is a 2nd-order topological insulator that supports bulk states and topological edge and corner states. We use nonlinearity to couple these states with one another. We show that the corner states couple to the edge states, and not the bulks states, for both the self-focusing and the self-defocusing nonlinearity. We also calculate a topological invariant of the system; its polarization. There is a sharp jump in polarization between the topologically trivial and nontrivial phases. We show that the nonlinear system inherits the jump in polarization from the linear system, and that the polarization can be tuned by the strength of the nonlinearity.U ovom radu proučavamo topološka svojstva fotoničkih rešetki. U prvom dijelu bavimo se preslikavanjem topoloških singulariteta iz impulsnog u realni prostor. U drugom dijelu, bavimo se nelinearnim topološkim izolatorima višeg reda i nasljeđivanjem topoloških svojstava od linearnog sistema. Preslikavanje topoloških singulariteta iz impulsnog u realni prostor demonstriramo u 2D fotoničkim grafenskim i Liebovim rešetkama. U energijskom spektru u impulsnom prostoru, obje rešetke imaju strukturu Blochovih vrpci koje se dotiču u Diracovim točkama. Diracove točke su singulariteti u impulsnom prostoru. Pobuđivanjem modova u blizini Diracove točke pokazali smo da se topološki singularitet preslika iz impulsnog u realni prostor. Taj fenomen možemo objasniti na tri načina. Prvi način je kinematički, pomoću očuvanja orbitalnog angularnog momenta. Naime, hamiltonijan za obje rešetke ima oblik H = κS · k što sugerira da je moguća pseudospin-orbit interakcija. Taj hamiltonijan komutira s operatorom ukupnog angularnog momenta pa je ukupni angularnim moment očuvan. To nam omogućuje da izračunamo topološki naboj na izlazu iz poznatih vrijednosti pseudospina i topološkog naboja na ulazu. Rezultat je konzistentan s preslikavanjem topološkog naboja iz impulsnog u realni prostor. Drugi način objašnjenja preslikavanja je pomoću dinamičke propagacije početnog pobuđenja. Početno pobuđenje razvijemo u bazi svojstvenih stanja hamiltonijana i evoluiramo ga s propagacijskim konstantama koje su svojstvene energije hamiltonijana. Rezultat je moguće raspisati po komponentama pseudospina koje u impulsnom prostoru imaju različite topološke naboje koji se preslikaju iz impulsnog prostora u realni prostor tijekom propagacije. Treći način objašnjenja preslikavanja je pomoću topologije. Za obje rešetke izračunali smo Berryjevu fazu i dobili smo da je jednaka wπ, gdje su namotaji Berryjeve faze w=1 za grafensku rešetku i w=2 za Liebovu rešetku. Pokazali smo i da su namotaji Berryjeve faze jednaki maksimalnoj razlici topoloških naboja u komponentama pseudospina u impulsnom prostoru. Također, pokazali smo da postoje sustavi, poput rastegnutih rešetki, u kojima ukupni angularni moment nije očuvan, kao i sustavi u kojima objašnjenje sa pseudospinom ne funkcionira, ali u kojima se preslikavanje i dalje događa i može se objasniti topologijom. Dakle, topološka slika preslikavanja je fundamentalna i vrijedi za općenito za sustave koji imaju topološke singularitete u impulsnom prostoru. To nam je omogućilo da damo prijedlog za preslikavanje 3D Weylovog sintetičkog monopola iz impulsnog u realni prostor. Nelinearnu kontrolu topoloških izolatora višeg reda demonstrirali smo na 2D fotoničkoj SSH rešetci. 2D SSH rešetka ima unutrašnjost koja je izolator, topološka rubna stanja i topološka kutna stanja koja su vezana stanja u kontinuumu unutrašnjih stanja. Budući da se kutna stanja nalaze u kontinuumu unutrašnjih stanja, za očekivati je da će se pod utjecajem nelinearnosti kutna stanja vezati na unutrašnja stanja. Međutim, demonstrirali smo da se, za slabu nelinearnost, kutna stanja vežu na rubna stanja, a ne na unutrašnja stanja. To sugerira da je nelinearni sustav naslijedio topološka svojstva od linearnog sistema. Eksperiment je proveden u fotoničkoj 2D SSH rešetci i pokazao je da se kutna stanja uistinu vežu na rubna stanja u slučaju slabe nelinearnosti. To je potvrđeno i numeričkim simulacijama. Osim samog vezanja, demonstrirali smo i da postoje oscilacije između kutnih i rubnih stanja tijekom propagacije laserske svjetlosti kroz rešetku. Topologija koja je u pozadini nelinearne kontrole topoloških izolatora višeg reda otkrivena je računanjem polarizacije sistema. Naime, kod topoloških izolatora drugog reda, poput 2D SSH rešetke, polarizacija je topološka invarijanta povezana sa Zakovom fazom. 2D SSH rešetka ima dvije topološke faze koje su karakterizirane dimerizacijskim parametrom c. c 0 odgovara topološki trivijalnoj fazi s polarizacijom P_x = P_y = 0. Računanjem polarizacije za nelinearni sistem, pokazali samo da i dalje postoji oštri skok u polarizaciji oko c = 0 i da je devijacija od linearnog slučaja mala za slabu nelinearnost i da raste linearno sa snagom nelinearnosti. Drugim riječima, ako zamislimo nelinearnost kao malu perturbaciju linearnog sistema, nagli skok u polarizaciji onda je nasljeđe linearnog sistema. Ukratko, u ovom radu istraživali smo preslikavanja topoloških svojstava fotoničkih rešetki. Preslikavanje topoloških singulariteta iz impulsnog u realni prostor od fundamentalne je važnosti za razumijevanje topologije, dok je nelinearna kontrola topoloških izolatora višeg reda zanimljiva za potencijalne primjene kod koji je važna mogućnost vezanja raznih topološki zaštićenih vodljivih stanja

Mapiranje topoloških svojstava fotoničkih rešetki

The study of topological properties of materials started in solid-state systems and was soon expanded to photonic systems. Today, topological photonics is one of the hottest areas of research in physics. In this thesis, we study topological properties and their mappings in photonic lattices. In the first part of this thesis, we study the mapping of topological singularities from the momentum space to the real space. For this, we employ 2D photonic honeycomb and Lieb lattices that have topological singularities in the momentum space in the form of Dirac points. We show that the singularities in the honeycomb and the Lieb lattices can be mapped from the momentum space to the real space. Three ways to explain the mapping are developed: One via the conservation of the total angular momentum and the pseudospin-orbit interaction. Another is via the far-field dynamics during the propagation of laser light through the photonic lattice. The third way is via topology and the Berry phase winding. We show that the topological explanation is fundamental. Based on this, we give a proposal for how our theory can be exploited in a 3D Weyl lattice to map a synthetic Weyl monopole from the momentum space to the real space. In the second part of the thesis, we study the higher-order topological insulators that have corner states that are also bound states in continuum. We study the 2D SSH lattice which is a 2nd-order topological insulator that supports bulk states and topological edge and corner states. We use nonlinearity to couple these states with one another. We show that the corner states couple to the edge states, and not the bulks states, for both the self-focusing and the self-defocusing nonlinearity. We also calculate a topological invariant of the system; its polarization. There is a sharp jump in polarization between the topologically trivial and nontrivial phases. We show that the nonlinear system inherits the jump in polarization from the linear system, and that the polarization can be tuned by the strength of the nonlinearity.U ovom radu proučavamo topološka svojstva fotoničkih rešetki. U prvom dijelu bavimo se preslikavanjem topoloških singulariteta iz impulsnog u realni prostor. U drugom dijelu, bavimo se nelinearnim topološkim izolatorima višeg reda i nasljeđivanjem topoloških svojstava od linearnog sistema. Preslikavanje topoloških singulariteta iz impulsnog u realni prostor demonstriramo u 2D fotoničkim grafenskim i Liebovim rešetkama. U energijskom spektru u impulsnom prostoru, obje rešetke imaju strukturu Blochovih vrpci koje se dotiču u Diracovim točkama. Diracove točke su singulariteti u impulsnom prostoru. Pobuđivanjem modova u blizini Diracove točke pokazali smo da se topološki singularitet preslika iz impulsnog u realni prostor. Taj fenomen možemo objasniti na tri načina. Prvi način je kinematički, pomoću očuvanja orbitalnog angularnog momenta. Naime, hamiltonijan za obje rešetke ima oblik H = κS · k što sugerira da je moguća pseudospin-orbit interakcija. Taj hamiltonijan komutira s operatorom ukupnog angularnog momenta pa je ukupni angularnim moment očuvan. To nam omogućuje da izračunamo topološki naboj na izlazu iz poznatih vrijednosti pseudospina i topološkog naboja na ulazu. Rezultat je konzistentan s preslikavanjem topološkog naboja iz impulsnog u realni prostor. Drugi način objašnjenja preslikavanja je pomoću dinamičke propagacije početnog pobuđenja. Početno pobuđenje razvijemo u bazi svojstvenih stanja hamiltonijana i evoluiramo ga s propagacijskim konstantama koje su svojstvene energije hamiltonijana. Rezultat je moguće raspisati po komponentama pseudospina koje u impulsnom prostoru imaju različite topološke naboje koji se preslikaju iz impulsnog prostora u realni prostor tijekom propagacije. Treći način objašnjenja preslikavanja je pomoću topologije. Za obje rešetke izračunali smo Berryjevu fazu i dobili smo da je jednaka wπ, gdje su namotaji Berryjeve faze w=1 za grafensku rešetku i w=2 za Liebovu rešetku. Pokazali smo i da su namotaji Berryjeve faze jednaki maksimalnoj razlici topoloških naboja u komponentama pseudospina u impulsnom prostoru. Također, pokazali smo da postoje sustavi, poput rastegnutih rešetki, u kojima ukupni angularni moment nije očuvan, kao i sustavi u kojima objašnjenje sa pseudospinom ne funkcionira, ali u kojima se preslikavanje i dalje događa i može se objasniti topologijom. Dakle, topološka slika preslikavanja je fundamentalna i vrijedi za općenito za sustave koji imaju topološke singularitete u impulsnom prostoru. To nam je omogućilo da damo prijedlog za preslikavanje 3D Weylovog sintetičkog monopola iz impulsnog u realni prostor. Nelinearnu kontrolu topoloških izolatora višeg reda demonstrirali smo na 2D fotoničkoj SSH rešetci. 2D SSH rešetka ima unutrašnjost koja je izolator, topološka rubna stanja i topološka kutna stanja koja su vezana stanja u kontinuumu unutrašnjih stanja. Budući da se kutna stanja nalaze u kontinuumu unutrašnjih stanja, za očekivati je da će se pod utjecajem nelinearnosti kutna stanja vezati na unutrašnja stanja. Međutim, demonstrirali smo da se, za slabu nelinearnost, kutna stanja vežu na rubna stanja, a ne na unutrašnja stanja. To sugerira da je nelinearni sustav naslijedio topološka svojstva od linearnog sistema. Eksperiment je proveden u fotoničkoj 2D SSH rešetci i pokazao je da se kutna stanja uistinu vežu na rubna stanja u slučaju slabe nelinearnosti. To je potvrđeno i numeričkim simulacijama. Osim samog vezanja, demonstrirali smo i da postoje oscilacije između kutnih i rubnih stanja tijekom propagacije laserske svjetlosti kroz rešetku. Topologija koja je u pozadini nelinearne kontrole topoloških izolatora višeg reda otkrivena je računanjem polarizacije sistema. Naime, kod topoloških izolatora drugog reda, poput 2D SSH rešetke, polarizacija je topološka invarijanta povezana sa Zakovom fazom. 2D SSH rešetka ima dvije topološke faze koje su karakterizirane dimerizacijskim parametrom c. c 0 odgovara topološki trivijalnoj fazi s polarizacijom P_x = P_y = 0. Računanjem polarizacije za nelinearni sistem, pokazali samo da i dalje postoji oštri skok u polarizaciji oko c = 0 i da je devijacija od linearnog slučaja mala za slabu nelinearnost i da raste linearno sa snagom nelinearnosti. Drugim riječima, ako zamislimo nelinearnost kao malu perturbaciju linearnog sistema, nagli skok u polarizaciji onda je nasljeđe linearnog sistema. Ukratko, u ovom radu istraživali smo preslikavanja topoloških svojstava fotoničkih rešetki. Preslikavanje topoloških singulariteta iz impulsnog u realni prostor od fundamentalne je važnosti za razumijevanje topologije, dok je nelinearna kontrola topoloških izolatora višeg reda zanimljiva za potencijalne primjene kod koji je važna mogućnost vezanja raznih topološki zaštićenih vodljivih stanja