О КОНФЕРЕНЦИИ ПАМЯТИ АНАТОЛИЯ АЛЕКСЕЕВИЧА КАРАЦУБЫ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯМ

In January, 2014, the I’st one-day international “Conference to the Memory of A.A. Karatsuba on Number Theory and Applications” took place in Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of sciences. The aims of this conference were presentation of new and important results in different branches of number theory (especially in branches connected with works of A. A. Karatsuba), the exchange by new number-theoretical ideas and insight with new methods and tendencies in number theory. The 2’nd Conference was organized by Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of sciences together with Moscow State university in January, 2015. The present paper contains wide annotations of reports of 2’nd Conference.  В январе 2014 г. в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН состоялась первая однодневная международная “Конференция памяти Анатолия Алексеевича Карацубы по теории чисел и приложениям”. Целями этой конференции были представление новых и значимых результатов в различных направлениях теории чисел (особенно в тех, что связаны с творчеством А.А. Карацубы), обмен новыми теоретико-числовыми идеями и ознакомление с новыми методами и тенденциями в теории чисел. Вторая международная Конференция была проведена Математическим институтом им. В. А. Стеклова РАН совместно с Московским Государственным университетом имени М. В. Ломоносова с 30 по 31 января 2015 г. Настоящая статья содержит развёрнутые аннотации докладов, прочитанных на второй Конференции.

Incomplete Kloosterman sums to prime power modules

We prove that for prime p, p → +∞, integer r ! 4 and q = pr an incomplete Kloosterman sum of length N to modulus q can be estimated non-trivially (with power-saving factor) for very small N, namely, for N ≫ (q log q)1/(r−1) .Bulletin t. 154 de l'Académie serbe des sciences et des arts. Classe des sciences mathématiques et naturelles. Sciences mathematiques no 4