Impresión de diseños simétricos en la obra de Escher

La búsqueda del hombre de bellos diseños, la selección de formas y colores de distintas piezas que quería usar en sus muros y embaldosados y la repetición sistemática de motivos produjeron patrones simétricos como ejemplos de teselaciones. Así mismo, la naturaleza ha encontrado bellísimas teselaciones resolviendo sus propios problemas. Una teselación o embaldosado de una superficie es cubrirla con una misma pieza que se repite sin dejar espacios ni solapamientos. Aunque a simple vista se piense que son infinitas las formas de producir diseños simétricos planos, básicamente existen sólo 17 formas de producirlos. Mostraremos que la ejecución de estas teselaciones sigue unas reglas sencillas y precisas, las cuales hemos utilizado para imaginar 17 artefactos, los cuales son ejemplos del concepto debido a William Thurston de orbifold (orbificie o calidoscopio generalizado) y que pueden ser utilizados en la impresión de cualquier diseño simétrico plano. Exhibiremos estos artefactos por medio de algunos vídeos y utilizaremos algunas de las obras de Escher para ilustrar nuestra conferencia. Se verá que los conceptos de translación, rotación y de reflexión pueden enseñarse fácilmente por medio de la utilización de estos artefactos

The Whitehead link, the Borromean rings and the knot 946 are universal.

W. Thurston proved the existence of universal links L⊂S3 which are defined by the property that every closed orientable 3-manifold is a branched covering over L⊂S3. The authors answered earlier [Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 8 (1983), no. 3, 449–450;] Thurston's question of whether there are universal knots in the affirmative. In the paper under review, they start from the fact that every closed orientable 3-manifold is an irregular 3-fold covering over a negative closed braid, and proceed by changing the braid by certain moves which do not alter the covering manifold. Thus they arrive at the conclusion that the Whitehead link, the Borromean rings and the knot 946 are universal. Whether the figure-eight knot is universal remains an open question

Impresión de diseños simétricos en la obra de Escher

La búsqueda, por parte del ser humano, de bellos diseños, la selección de formas y colores de distintas piezas para sus muros y embaldosados, y la repetición sistemática de motivos produjeron patrones simétricos como ejemplos de teselados. Así mismo, la naturaleza ha encontrado bellísimos teselados resolviendo sus propios problemas. Un teselado embaldosado de una superficie es cubrirla con una misma pieza que se repite sin dejar espacios ni solapamientos. Aunque a simple vista se piense que son infinitas las formas de producir diseños simétricos planos, básicamente existen solo 17 formas de producirlos. Mostraremos que la ejecución de estos teselados sigue unas reglas sencillas y precisas, las cuales hemos utilizado para imaginar 17artefactos, los cuales son ejemplos del concepto debido a William Thurston, deorbifold (orbificie o calidoscopio generalizado) y que pueden ser utilizados en la impresión de cualquier diseño simétrico plano. Exhibiremos estos artefactos por medio de algunos dibujos y utilizaremos algunas de las obras de Escher para ilustrar nuestra conferencia. Se verá que los conceptos de translación, rotación y de reflexión pueden enseñarse fácilmente por medio de la utilización de estos artefactos

Closed oriented 3-manifolds as 3-fold branched coverings of S 3 of special type

The first author [Amer. J. Math. 98 (1976), no. 4, 989–992] and the second author [Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 27 (1976), no. 105, 85–94] have shown that any closed orientable 3-manifold M is a 3-fold cover of S3 branched over a knot. In the present paper it is proved that matters may be arranged so that the curve in M which covers the branch set in S3 bounds a disc in M

On the Borromean orbifolds: geometry and arithmetic

This paper continues earlier work by the authors [see, in particular, H. M. Hilden et al., Invent. Math. 87 (1987), no. 3, 441–456; H. M. Hilden, M. T. Lozano and J. M. Montesinos, in Differential topology (Siegen, 1987), 1–13, Lecture Notes in Math., 1350, Springer, Berlin, 1988;] on universal knots, links and groups, which shows that every closed oriented 3-manifold has the structure of an arithmetic orbifold. Investigating "how rare a flower is an arithmetic orbifold in the garden of hyperbolic orbifolds", the authors produce a three-parameter family B(m,n,p), 3≤m,n,p≤∞, of them with singular set the Borromean rings and show (simultaneously providing an excellent survey on arithmetic hyperbolic groups and orbifolds) that only eleven of its members are arithmetic

On the classification of 3--bridge links

Using a new way to represent links, that we call a butterfly representation, we assign to each 3-bridge link diagram a sequence of six integers, collected as a triple (p/n,q/m,s/l), such that p≥ q≥ s≥2, 0 and lt;n≤ p, 0 and lt;m≤ q and 0 and lt;l≤ s. For each 3-bridge link there exists an infinite number of 3-bridge diagrams, so we define an order in the set (p/n,q/m,s/l) and assign to each 3-bridge link L the minimum among all the triples that correspond to a 3-butterfly of L, and call it the butterfly presentation of L. This presentation extends, in a natural way, the well known Schubert classification of 2-bridge links. We obtain necessary and sufficient conditions for a triple (p/n,q/m,s/l) to correspond to a 3-butterfly and so, to a 3-bridge link diagram. Given a triple (p/n,q/m,s/l) we give an algorithm to draw a canonical 3-bridge diagram of the associated link. We present formulas for a 3-butterfly of the mirror image of a link, for the connected sum of two rational knots and for some important families of 3-bridge links. We present the open question: When do the triples(p/n,q/m,s/l) and (p'/n',q'/m',s'/l') represent the same 3-bridge link?Usando una nueva forma de representar enlaces, que se denomina representación en mariposa, se asocia a cada diagrama de 3 puentes de un enlace una sucesión de seis enteros, organizados como una tripla (p/n,q/m,s/l), tal que p≥ q≥ s≥2, 0 and lt;n≤ p, 0 and lt;m≤ q y 0 and lt;l≤ s. Para cada enlace de 3 puentes existe un número infinito de diagramas de 3 puentes, por lo que se define un orden en el conjunto de triplas de la forma (p/n,q/m,s/l) y se asigna a cada enlace de 3 puentes L el mínimo entre todas las triplas que corresponden a una 3-mariposa de L, y que se llama lapresentación en mariposa de L. Esta presentación extiende, en una forma natural, la bien conocida clasificación de Schubert de los enlaces de 2 puentes. Se obtienen condiciones necesarias y suficientes para que una tripla de la forma (p/n,q/m,s/l)corresponda a una 3-mariposa y por tanto, a un diagrama de 3 puentes de un enlace. Dada una tripla (p/n,q/m,s/l) se da un algoritmo para dibujar, en forma canónica, un diagrama de 3 puentes del enlace de 3 puentes asociado. Se presentan fórmulas para la 3-mariposa de la imagen espejos de un enlace de 3 puentes, para la suma conexa de dos nudos racionales y de algunas familias importantes de enlaces de 3 puentes. Queda la pregunta abierta: ¿Cuándo dos triplas (p/n,q/m,s/l) y (p'/n',q'/m',s'/l') representan el mismo enlace de 3 puentes