Certificates of infeasibility via nonsmooth optimization

An important aspect in the solution process of constraint satisfaction problems is to identify exclusion boxes which are boxes that do not contain feasible points. This paper presents a certificate of infeasibility for finding such boxes by solving a linearly constrained nonsmooth optimization problem. Furthermore, the constructed certificate can be used to enlarge an exclusion box by solving a nonlinearly constrained nonsmooth optimization problem.Comment: arXiv admin note: substantial text overlap with arXiv:1506.0802

A feasible second order bundle algorithm for nonsmooth, nonconvex optimization problems with inequality constraints and its application to certificates of infeasibility

Diese Arbeit erweitert den SQP-Zugang des Bundle-Newton-Verfahrens für nichtglatte, unrestringierte Optimierungsprobleme zu einem zulässigen Bundle-Algorithmus zweiter Ordnung für nichtglatte, nichtkonvexe Optimierungsprobleme mit Ungleichungsnebenbedingungen. An Stelle der Verwendung einer Straffunktion oder eines Filters oder einer Improvement-Funktion zur Behandlung der Nebenbedingungen, wird die Suchrichtung durch Lösen eines konvexen quadratischen Optimierungsproblems mit quadratischen Nebenbedingungen bestimmt, um gute Iterationspunkte zu erhalten. Außerdem untersuchen wir einige Varianten des Suchrichtungsproblems, wir geben eine numerische Rechtfertigung für die Anwendbarkeit des vorgestellten Zugangs, indem wir die Effektivität von verschiedener Lösungssoftware für die Berechnung der Suchrichtung vergleichen, und wir weisen die globale Konvergenz der Methode unter bestimmten Voraussetzungen nach. Weiters stellen wir eine wichtige Anwendung der nichtglatten Optimierung für Zulässigkeitsprobleme vor: Dazu führen wir ein Unzulässigkeitszertifikat ein, welches das Auffinden von Ausschlussboxen durch Lösen eines nichtglatten Optimierungsproblems mit linearen Nebenbedingungen ermöglicht. Zusätzlich kann dieses Zertifikat verwendet werden, um eine Ausschlussbox durch Lösen eines nichtglatten Optimierungsproblems mit nichtlinearen Nebenbedingungen zu vergrößern. Schließlich besprechen wir noch die im Vergleich zu anderer Lösungssoftware guten Testergebnisse von unserem Bundle-Algorithmus zweiter Ordnung für einige Hock-Schittkowski-Beispiele, für Beispiele die im Zusammenhang mit der Auffindung von Ausschlussboxen in Zulässigkeitsproblemen auftreten und für höher dimensionale stückweise quadratische Beispiele.This thesis extends the SQP-approach of the well-known bundle-Newton method for nonsmooth unconstrained minimization to a feasible second order bundle algorithm for nonsmooth, nonconvex optimization problems with inequality constraints: Instead of using a penalty function or a filter or an improvement function to deal with the presence of constraints, the search direction is determined by solving a convex quadratically constrained quadratic program to obtain good iteration points. Moreover, we investigate certain versions of the search direction problem, we justify the applicability of this approach numerically by using different solvers for the computation of the search direction and we show global convergence of the method under certain assumptions. Furthermore, we present an important application of nonsmooth optimization to constraint satisfaction problems: We introduce a certificate of infeasibility for finding exclusion boxes by solving a linearly constrained nonsmooth optimization problem. Additionally, the constructed certificate can be used to enlarge an exclusion box by solving a nonlinearly constrained nonsmooth optimization problem. Finally, the good performance of the second order bundle algorithm is demonstrated by comparison with test results of other solvers on examples of the Hock-Schittkowski collection, on custom examples that arise in the context of finding exclusion boxes for constraint satisfaction problems, and on higher dimensional piecewise quadratic examples