Value at risk et expected shortfall pour des données faiblement dépendantes (estimations non-paramétriques et théorèmes de convergences)

Quantifier et mesurer le risque dans un environnement partiellement ou totalement incertain est probablement l'un des enjeux majeurs de la recherche appliquée en mathématiques financières. Cela concerne l'économie, la finance, mais d'autres domaines comme la santé via les assurances par exemple. L'une des difficultés fondamentales de ce processus de gestion des risques est de modéliser les actifs sous-jacents, puis d'approcher le risque à partir des observations ou des simulations. Comme dans ce domaine, l'aléa ou l'incertitude joue un rôle fondamental dans l'évolution des actifs, le recours aux processus stochastiques et aux méthodes statistiques devient crucial. Dans la pratique l'approche paramétrique est largement utilisée. Elle consiste à choisir le modèle dans une famille paramétrique, de quantifier le risque en fonction des paramètres, et d'estimer le risque en remplaçant les paramètres par leurs estimations. Cette approche présente un risque majeur, celui de mal spécifier le modèle, et donc de sous-estimer ou sur-estimer le risque. Partant de ce constat et dans une perspective de minimiser le risque de modèle, nous avons choisi d'aborder la question de la quantification du risque avec une approche non-paramétrique qui s'applique à des modèles aussi généraux que possible. Nous nous sommes concentrés sur deux mesures de risque largement utilisées dans la pratique et qui sont parfois imposées par les réglementations nationales ou internationales. Il s'agit de la Value at Risk (VaR) qui quantifie le niveau de perte maximum avec un niveau de confiance élevé (95% ou 99%). La seconde mesure est l'Expected Shortfall (ES) qui nous renseigne sur la perte moyenne au delà de la VaR.To quantify and measure the risk in an environment partially or completely uncertain is probably one of the major issues of the applied research in financial mathematics. That relates to the economy, finance, but many other fields like health via the insurances for example. One of the fundamental difficulties of this process of management of risks is to model the under lying credits, then approach the risk from observations or simulations. As in this field, the risk or uncertainty plays a fundamental role in the evolution of the credits; the recourse to the stochastic processes and with the statistical methods becomes crucial. In practice the parametric approach is largely used.It consists in choosing the model in a parametric family, to quantify the risk according to the parameters, and to estimate its risk by replacing the parameters by their estimates. This approach presents a main risk, that badly to specify the model, and thus to underestimate or over-estimate the risk. Based within and with a view to minimizing the risk model, we choose to tackle the question of the quantification of the risk with a nonparametric approach which applies to models as general as possible. We concentrate to two measures of risk largely used in practice and which are sometimes imposed by the national or international regulations. They are the Value at Risk (VaR) which quantifies the maximum level of loss with a high degree of confidence (95% or 99%). The second measure is the Expected Shortfall (ES) which informs about the average loss beyond the VaR.LE MANS-BU Sciences (721812109) / SudocSudocFranceF

Backward stochastic differential equations and their applications

Cette thèse porte principalement sur l'étude des équations différentielles stochastiques rétrogrades, souvent notées EDSRs et leurs applications.Dans la première partie, on s'interesse aux EDSRs réfléchies sur deux barrières distinctes. On montre l'existence de la solution pour un générateur continu à croissance quadratique. Par la suite, on résout un problème de jeux de somme nulle sensibles au risque. Comme application à la finance, on s'intéresse à l'option américaine de jeu sous l'incertitude de K night. Dans la seconde partie, on considère un problème du type options réelles dit d'arrêt et de reprise lorsque le bruit provient d'un mouvement Brownien et d'une mesure de Poisson indépendante. Ce problème est résolu grâce à l'enveloppe de Snell et aux EDSRs réfléchies à sauts. Nous énonçons un résultat de vérification stochastique qui sera démontré par la suite. Lorsque le bruit est Markovien, nous montrons que le problème est lié à un système d'EIDPs, ce qui nous permet d'établir un résultat de vérification déterministe. Finalement, nous considérons le même problème avec des jonctions d'utilité exponentielles.This thesis deals with the Backward stochastic differential equations (BSDEs for short) and their applications. The first part is devoted to the double barrier refiected BSDEs. We show the existence of a solution for su ch equations when the barriers are completely separate and the generator is continuous with quadratic growth. As an application we solve the risk-sensitive mixed zero-sum stochastic differential game. ln addition we deal with recallable options under K nightian uncertainty.ln the second part, we focus on a real option problem namely the starting and stopping problem when the noise is driven by a Brownian motion and an independent Poisson process. This problem is tackled in using the notion of Snell envelope and BSDEs with jumps. We de rive a stochastic verification theorem which we show later that is satisfied. lVhen the random noise stems from a standard SDE with jumps we show that the problem is related to a system of two variational inequalities, hence we give a deterministic verification result. Finally, we deal with the problem with exponential utilities.LE MANS-BU Sciences (721812109) / SudocSudocFranceF

Optimal switching and reflected backward stochastic differential equations

Dans les deux premières parties, nous nous intéressons à un problème de Switching à plusieurs régimes de fonctionnement, les fonctions de profits sont à croissance polynomiale arbitraire et les fonctions de switching d un régime à un autre (coût de Switching) non constantes dépendant de l état et du temps. Dans la première partie, nous étudions essentiellement le cadre Markovien en horizon fini et dans la seconde nous étudions le cadre général en horizon infini. En horizon fini nous montrons que le théorème de vérification associé à notre problème qui s exprime par l intermédiaire d un système d EDP paraboliques avec obstacles inter-connectés à une solution unique au sens de viscosité. Cette solution est construite à partir du système d EDSR réfléchies et le principe de la programmation dynamique associés au problème du switching optimal. Puis en horizon infini, nous établissons le théorème de vérification pour lequel nous montrons l existence d une solution en utilisant la théorie de l enveloppe de Snell et des équations différentielles stochastiques rétrogrades. Nous étudions ensuite le cadre markovien et nous montrons que le théorème de vérification associé à notre problème qui s exprime par l intermédiaire d un système d EDP elliptiques avec obstacles inter-connectés à une solution unique au sens de viscosité. Enfin, dans la dernière partie, nous étudions les EDSRs réfléchies à deux barrières continues où les coefficients sont supposés simplement p-intégrables avec (1; 2). En utilisant la notion de solution locale, nous démontrons que cette équation admet une solution unique. Comme applications, nous abordons un problème de jeu de Dynkin puis la solution au sens de viscosité d un problème d équation aux dérivées partielles avec deux obstacles.We study optimal switching and L -solution for doubly reflected backward stochastic differential equations. In the first part, we show existence and uniqueness of a solution for a system of m variational partial differential inequalities with inter-connected obstacles. This system is the deterministic version of the Verification Theorem of the Markovian optimal m-states switching problem. The switching cost functions are arbitrary. In the second part we study the problem of the deterministic version of the Verification Theorem for the optimal m-states switching in infinite horizon under Markovian framework with arbitrary switching cost functions. The problem is formulated as an extended impulse control problem and solved by means of probabilistic tools such as the Snell envelop of processes and reflected backward stochastic differential equations. A viscosity solutions approach is employed to carry out a fine analysis on the associated system of m variational inequalities with inter-connected obstacles. We show that the vector of value functions of the optimal problem is the unique viscosity solution to the system. Finally in the third part, we deal the problem of existence and uniqueness of a solution for à backward stochastic differential equation (BSDE for short) with two strictly separated continuous reflecting barriers in the case when the terminal value, the generator and the obstacle process are L -integrable with (1, 2). The main idea is to use the concept of local solution to construct the global one. As applications, we obtain new results in zerosum Dynkin games and in double obstacle variational inequalities theories.LE MANS-BU Sciences (721812109) / SudocSudocFranceF

Reflected backward stochastic differential equations and applications in reversible investment and in partial differential equations

L'objet de cette thèse est d'étudier l'existence et l'unicité de solutions des équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies puis de lier cette notion à des problèmes tels que l'investissement réversible ou bien le problème d'arrête et de reprise, le jeu stochastique différentiel de somme nulle (mixte type ou Dynkin type), ou alors l'interprétation probabiliste de solutions faibles des équations intégrales aux dérivées partielles, au sens de viscosité ou au sens Sobolev dans les cadres différents.The main objective of the thesis is to study the existence and uniqueness of solutions of reflected backward stochastic differential equations and to relate this notion to the study of the problems such as the reversible investment or so-called optimal switching problem, the mixed zero-sum stochastic differential games and the probabilistic interpretation of the weak solution of partial differential equations, either in viscosity sense or in Sobolev space under different framework.LE MANS-BU Sciences (721812109) / SudocSudocFranceF