Backward stochastic differential equations and their applications

Abstract

Cette thèse porte principalement sur l'étude des équations différentielles stochastiques rétrogrades, souvent notées EDSRs et leurs applications.Dans la première partie, on s'interesse aux EDSRs réfléchies sur deux barrières distinctes. On montre l'existence de la solution pour un générateur continu à croissance quadratique. Par la suite, on résout un problème de jeux de somme nulle sensibles au risque. Comme application à la finance, on s'intéresse à l'option américaine de jeu sous l'incertitude de K night. Dans la seconde partie, on considère un problème du type options réelles dit d'arrêt et de reprise lorsque le bruit provient d'un mouvement Brownien et d'une mesure de Poisson indépendante. Ce problème est résolu grâce à l'enveloppe de Snell et aux EDSRs réfléchies à sauts. Nous énonçons un résultat de vérification stochastique qui sera démontré par la suite. Lorsque le bruit est Markovien, nous montrons que le problème est lié à un système d'EIDPs, ce qui nous permet d'établir un résultat de vérification déterministe. Finalement, nous considérons le même problème avec des jonctions d'utilité exponentielles.This thesis deals with the Backward stochastic differential equations (BSDEs for short) and their applications. The first part is devoted to the double barrier refiected BSDEs. We show the existence of a solution for su ch equations when the barriers are completely separate and the generator is continuous with quadratic growth. As an application we solve the risk-sensitive mixed zero-sum stochastic differential game. ln addition we deal with recallable options under K nightian uncertainty.ln the second part, we focus on a real option problem namely the starting and stopping problem when the noise is driven by a Brownian motion and an independent Poisson process. This problem is tackled in using the notion of Snell envelope and BSDEs with jumps. We de rive a stochastic verification theorem which we show later that is satisfied. lVhen the random noise stems from a standard SDE with jumps we show that the problem is related to a system of two variational inequalities, hence we give a deterministic verification result. Finally, we deal with the problem with exponential utilities.LE MANS-BU Sciences (721812109) / SudocSudocFranceF