Investigation of hidden multipolar spin order in frustrated magnets using interpretable machine learning techniques

Frustration gives rise to a plethora of intricate phenomena, the most salient of which are spin liquids, both classical ones—such as the spin-ice phase which has been realized experimentally in rare-earth oxide pyrochlore materials—and their more elusive quantum counterparts. At low temperatures, classical frustrated spin systems may still order, despite their extensive ground-state degeneracy, due to the order-by-disorder phenomenon. The resulting orders are often of a multipolar type which defies conventional probes. Identifying and characterizing such “hidden” orders is thus a challenging endeavor. This thesis introduces a machine-learning framework for studying the phase diagram of classical frustrated spin models in an unbiased and automated way. The interpretability of the resulting classification was of paramount importance in the design of the method. It allows for the inference of both the order parameter tensors of the phases with broken symmetries as well as the constraints which are characteristic of classical spin liquids and signal their emergent gauge structure. On top of that, it establishes a hierarchical relationship among the various phases according to their degree of disorder. The framework is applied to three different models and spin configurations are harvested from classical Monte Carlo simulations of those. A gauge model is used to mimic the interactions between the mesogens of generalized nematics. These may possess arbitrary point group symmetry, resulting in benchmark models with a low-temperature phase that breaks the O(3) spin symmetry accordingly. In addition, two frustrated spin models are considered. The historically important case of the Heisenberg model on the kagome lattice gives rise to hidden triatic order which requires a description in terms of two tensors of different ranks; the machine is capable of finding both. Meanwhile, for the XXZ model on the pyrochlore lattice, the machine reconstructs the complex phase diagram which was only recently obtained and correctly identifies the spin nematic phase as well as three distinct types of classical spin liquids, including their crossovers. The method has the potential to accelerate the characterization of model Hamiltonians of frustrated magnets. It can scrutinize the whole parameter space at once and may thus help to identify interesting regimes, paving the way for the search of new orders and spin liquids.Frustration führt zu einer Fülle komplexer Phänomene, von denen die herausragendsten Spinflüssigkeiten sind, sowohl klassische – wie beispielsweise die Spin-Eis-Phase, die experimentell in den Oxiden seltener Erden auf dem Pyrochlor-Gitter realisiert wurde – und ihre schwerer fassbaren quantenmechanischen Gegenstücke. Bei niedrigen Temperaturen können klassische frustrierte Spinsysteme obgleich der extensiven Entartung des Grundzustandes aufgrund des Phänomens der „Ordnung durch Unordnung“ dennoch Ordnungen ausbilden. Diese sind oft multipolarer Natur und entziehen sich herkömmlichen Messgrößen. Die Identifikation und Charakterisierung solcher „verborgener“ Ordnungen ist daher eine herausfordernde Aufgabe. In dieser Arbeit wird ein Verfahren für das unvoreingenommene und automatisierte maschinelle Lernen der Phasendiagramme klassischer frustrierter Spinmodelle eingeführt. Die Interpretierbarkeit der resultierenden Klassifikatoren war für das Design der Methode ausschlaggebend. Sie erlaubt den Rückschluss sowohl auf die Ordnungsparametertensoren der symmetriebrechenden Phasen als auch auf die Nebenbedingungen, die für klassische Spinflüssigkeiten charakteristisch sind und auf deren emergente Eichstruktur hindeuten. Darüber hinaus wird eine hierarchische Beziehung zwischen den verschiedenen Phasen gemäß dem Grade ihrer jeweiligen Unordnung hergestellt. Das Verfahren wird auf drei verschiedene Modelle angewendet und Spin-Konfigurationen werden jeweils aus klassischen Monte-Carlo-Simulationen dieser gewonnen. Ein Eichmodell dient dazu, die Wechselwirkungen zwischen den Mesogenen verallgemeinerter nematischer Flüssigkristalle nachzuahmen. Diese können beliebige Punktgruppensymmetrien besitzen, was zu Benchmark-Modellen mit einer Niedertemperaturphase führt, die die O(3)-Spinsymmetrie entsprechend herunterbricht. Darüber hinaus werden zwei frustrierte Spinmodelle betrachtet. Der historisch wichtige Fall des Heisenberg-Modells auf dem Kagome-Gitter führt zu einer verborgenen trigonalen Ordnung, die eine Beschreibung in Form von zwei Tensoren unterschiedlichen Ranges erforderlich macht; die Maschine ist in der Lage, beide zu finden. Währenddessen rekonstruiert die Maschine für das XXZ-Modell auf dem Pyrochlor-Gitter das komplexe Phasendiagramm, das erst vor Kurzem ausgearbeitet wurde, und identifiziert die spin-nematische Phase sowie drei verschiedene Arten klassischer Spinflüssigkeiten, einschließlich ihrer Übergänge, korrekt. Die Methode hat das Potenzial, die Charakterisierung von Spinmodellen frustrierter Magnete zu beschleunigen. Sie kann den gesamten Parameterraum auf einmal untersuchen und somit dazu beitragen, interessante Bereiche zu identifizieren. Dies bereitet den Weg für die Suche nach neuen Ordnungen und Spinflüssigkeiten

Investigation of hidden multipolar spin order in frustrated magnets using interpretable machine learning techniques

Frustration gives rise to a plethora of intricate phenomena, the most salient of which are spin liquids, both classical ones—such as the spin-ice phase which has been realized experimentally in rare-earth oxide pyrochlore materials—and their more elusive quantum counterparts. At low temperatures, classical frustrated spin systems may still order, despite their extensive ground-state degeneracy, due to the order-by-disorder phenomenon. The resulting orders are often of a multipolar type which defies conventional probes. Identifying and characterizing such “hidden” orders is thus a challenging endeavor. This thesis introduces a machine-learning framework for studying the phase diagram of classical frustrated spin models in an unbiased and automated way. The interpretability of the resulting classification was of paramount importance in the design of the method. It allows for the inference of both the order parameter tensors of the phases with broken symmetries as well as the constraints which are characteristic of classical spin liquids and signal their emergent gauge structure. On top of that, it establishes a hierarchical relationship among the various phases according to their degree of disorder. The framework is applied to three different models and spin configurations are harvested from classical Monte Carlo simulations of those. A gauge model is used to mimic the interactions between the mesogens of generalized nematics. These may possess arbitrary point group symmetry, resulting in benchmark models with a low-temperature phase that breaks the O(3) spin symmetry accordingly. In addition, two frustrated spin models are considered. The historically important case of the Heisenberg model on the kagome lattice gives rise to hidden triatic order which requires a description in terms of two tensors of different ranks; the machine is capable of finding both. Meanwhile, for the XXZ model on the pyrochlore lattice, the machine reconstructs the complex phase diagram which was only recently obtained and correctly identifies the spin nematic phase as well as three distinct types of classical spin liquids, including their crossovers. The method has the potential to accelerate the characterization of model Hamiltonians of frustrated magnets. It can scrutinize the whole parameter space at once and may thus help to identify interesting regimes, paving the way for the search of new orders and spin liquids.Frustration führt zu einer Fülle komplexer Phänomene, von denen die herausragendsten Spinflüssigkeiten sind, sowohl klassische – wie beispielsweise die Spin-Eis-Phase, die experimentell in den Oxiden seltener Erden auf dem Pyrochlor-Gitter realisiert wurde – und ihre schwerer fassbaren quantenmechanischen Gegenstücke. Bei niedrigen Temperaturen können klassische frustrierte Spinsysteme obgleich der extensiven Entartung des Grundzustandes aufgrund des Phänomens der „Ordnung durch Unordnung“ dennoch Ordnungen ausbilden. Diese sind oft multipolarer Natur und entziehen sich herkömmlichen Messgrößen. Die Identifikation und Charakterisierung solcher „verborgener“ Ordnungen ist daher eine herausfordernde Aufgabe. In dieser Arbeit wird ein Verfahren für das unvoreingenommene und automatisierte maschinelle Lernen der Phasendiagramme klassischer frustrierter Spinmodelle eingeführt. Die Interpretierbarkeit der resultierenden Klassifikatoren war für das Design der Methode ausschlaggebend. Sie erlaubt den Rückschluss sowohl auf die Ordnungsparametertensoren der symmetriebrechenden Phasen als auch auf die Nebenbedingungen, die für klassische Spinflüssigkeiten charakteristisch sind und auf deren emergente Eichstruktur hindeuten. Darüber hinaus wird eine hierarchische Beziehung zwischen den verschiedenen Phasen gemäß dem Grade ihrer jeweiligen Unordnung hergestellt. Das Verfahren wird auf drei verschiedene Modelle angewendet und Spin-Konfigurationen werden jeweils aus klassischen Monte-Carlo-Simulationen dieser gewonnen. Ein Eichmodell dient dazu, die Wechselwirkungen zwischen den Mesogenen verallgemeinerter nematischer Flüssigkristalle nachzuahmen. Diese können beliebige Punktgruppensymmetrien besitzen, was zu Benchmark-Modellen mit einer Niedertemperaturphase führt, die die O(3)-Spinsymmetrie entsprechend herunterbricht. Darüber hinaus werden zwei frustrierte Spinmodelle betrachtet. Der historisch wichtige Fall des Heisenberg-Modells auf dem Kagome-Gitter führt zu einer verborgenen trigonalen Ordnung, die eine Beschreibung in Form von zwei Tensoren unterschiedlichen Ranges erforderlich macht; die Maschine ist in der Lage, beide zu finden. Währenddessen rekonstruiert die Maschine für das XXZ-Modell auf dem Pyrochlor-Gitter das komplexe Phasendiagramm, das erst vor Kurzem ausgearbeitet wurde, und identifiziert die spin-nematische Phase sowie drei verschiedene Arten klassischer Spinflüssigkeiten, einschließlich ihrer Übergänge, korrekt. Die Methode hat das Potenzial, die Charakterisierung von Spinmodellen frustrierter Magnete zu beschleunigen. Sie kann den gesamten Parameterraum auf einmal untersuchen und somit dazu beitragen, interessante Bereiche zu identifizieren. Dies bereitet den Weg für die Suche nach neuen Ordnungen und Spinflüssigkeiten

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Peer Reviewedhttp://deepblue.lib.umich.edu/bitstream/2027.42/45102/1/10936_2005_Article_BF01068180.pd

Next generation supply chains: making the right decisions about digitalisation

This white paper is based on research carried out by the IfM’s Centre for International Manufacturing and insights emerging from our work with industrial partners. In it we share our latest findings to help global companies consider their digital supply chain strategies