Des coloriages de pavages super et superbes

II existe une vaste littérature sur le sujet des groupes de couleurs et des coloriages des motifs dans le plan [2, chapitre 8], [6], [8]. II est toutefois étrange qu’aucun de ces travaux ne semble porter directement sur les problèmes du coloriage des pavages comme tel. Plus particulièrernent, bien que les groupes de couleurs soient souvent présentés comme des groupes de symétrie de couleurs des pavages, un examen approfondi révélera que ce ne sont que les motifs des pavés du pavage qui sont considérés; d’autres propriétés essentielles d’un pavage tel que son type topologique et I’adjacence de certaines paires de pavés sont ignorées. Si, par contre, on en tient compte, plusieurs problèmes intéressants (et complexes) se présentent. Le but de cet article est d’aborder quelques-uns de ces problèmes. On s’intéressera plus particulièrement à ce qu’on appelle les super coloriages de pavages isoédriques. (On expliquera ci-dessous les termes essentiels.) Au-delà de I’intérêt mathématique, les super coloriages sont très attrayants d’un point devue esthétique et, à ce titre, ils ont été utilisés par des artistes comme M.C. Escher. En fait dans I’ensemble des collections publiées d’oeuvres d’Escher, tous les coloriages de pavages isoédriques sont super. (On peut consulter, par exemple, [ 1 , Planches E2-E23, E32-E31, E36-E51, E55, E62-E66, E70, E73-E79, E86, E88-E92, E94-E98, E l 02-E109, E116-E119, E124, E127, E128].) Ce fait fut à I’origine du présent article, il est la suite d’une présentation de I’auteur au Escher Symposium de Rome en mars 1985 (un rapport en a été donné dans les Comptes-rendus de cette rencontre [7]). Toutefois, dans I’intérêt du lecteur, on répétera ici la terminologie jugée essentielle et cette présentation sera auto-suffisante. L’auteurtient à exprimer sa reconnaissance à Marjorie Senechal et à Tom Wieting pour hi avoir suggéré les corrections à [6], et, plus particulièrement a Branko Grünbaum pour nos discussions utiles et les commentaires qu’il porta sur les versions préliminaires de cet article, commentaires qui menèrent à plusieurs améliorations.There exists an extensive literature concerning colour groups and the related colourings of the motifs of a plane pattern [2, Chapter 81, [6], [8]. It is strange that none of this work seems to refer directly to the problems of colouring tilings as such. To be more specific, though colour groups are often displayed as the colour symmetry groups of tilings, careful examination will show that it is only the patterns of the tiles in the tilings which are under consideration; other essential properties of a tiling such as its topological type, and the adjacencies of certain pairs of tiles, are ignored. If the latter are taken into account, several interesting (and difficult) problems emerge. It is the purpose of the present paper to consider some of these. In particular, we shall be concerned with what are called super colourings of isohedral tilings. (These words and other essential terminology, will be explained shortly.) Besides being mathematically interesting, super colourings are very attractive from an aesthetic point of view, and have been used by artists such as M.C. Escher. In fact, in the published collections of Escher’s works, all his colourings of isohedral tilings are super. (See, for example, [ l , Plates E2-E23, E32-E31, E36-E51, E55, E62-E66, E70, E73-E79, E86, E88-E92, E94-E98, E102-E109, E l 16-El 19, E 124, E 127, E 1281.) This fact motivated the present paper, which isasequel to the talkgiven bythe authoratthe ExherSymposium in Rome in March 1985, and reported in the Proceedings of that meeting [7]. However, for the convenience of the reader, essential terminology will be repeated here and the presentation will be self-contained. The author wishes to express his gratitude to Marjorie Senechal and Tom Wieting for supplying him with corrections to [6], and, more especially to Branko Grunbaum for helpful discussions and for his comments on preliminary versions of this paper which led to many improvements.Peer Reviewe

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