Localization of Resonant Spherical Waves

This paper treats radial spherical resonant waves excited in the transresonant regime. An approximate general solution of a perturbedwave equation is presented here, which takes into account nonlinear, spatial, and dissipative effects. Then a boundary problem reduces to the perturbed compound Burgers-Kortewegde Vries equation (BKdV) in time. Several solutions to this equation are constructed. Shock waves may be excited near resonance according to the solutions for an inviscid medium. However, both viscosity and spatial dispersion begin to be important very close to resonance and prevent the formation of shock discontinuity. As a result, periodic localized excitations are generated in resonators instead of shock waves.Рассматриваются радиальные сферические резонансные волны, возбуждаемые в трансрезонансном режиме. Приближенное общее решение возмущенного волнового уравнения представляется в виде, учитывающем нелинейные, пространственные и диссипативные эффекты. Граничная задача сводится к возмущенному смешанному уравнению Бюргера- Кортевега-де Вриза, для которого построено несколько решений. Установлено, что в невязкой среде вблизи резонанса могут возникать ударные волны. Однако как вязкость, так и пространственная дисперсия вблизи резонанса предотвращают формирование ударного разрыва, в результате чего в резонаторе вместо ударных генерируются периодические локализованные волны.Розглядаються радіальні сферичні резонансні хвилі, що збуджуються в трансрезонансному режимі. Наближений загальний розв’язок збуреного хвильового рівняння записується з урахуванням нелінійних, просторових і дисипативних ефектів. Гранична задача зводиться до збуреного змішаного рівняння Бюргера-Кортевега-де Вріза, для якого побудовано декілька розв’ язків. Установлено, що в нев’язкому середовищі поблизу резонансу можуть виникати ударні хвилі. Однак як в ’язкість, так і просторова дисперсія поблизу резонансу запобігають формуванню ударного розриву, в результаті чого в резонаторі замість ударних генеруються періодичні локалізовані хвилі

Transresonant Evolution of Spherical Waves Governed by the Perturbed Wave Equation

An equation of nonlinear acoustics for radial spherical waves in a solid body has been derived. An approximate solution to this equation is presented, which takes into account nonlinear, spatial, and dissipative effects. It is found that in the transresonant frequency band nonlinear spherical waves may be excited, which it is difficult to classify as the well-known solitonor cnoidal- or shock- or breather-type waves. These resonant spherical waves are also quite different from the well-known sawtooth spherical waves. However, some expressions for the spherical waves resemble the solutions for surface waves.Выводится уравнение нелинейной акустики для радиальных сферических волн в твердом теле. Приближенное решение этого уравнения учитывает нелинейные, пространственные и диссипативные эффекты. Установлено, что в трансрезонансной частотной полосе могут возбуждаться нелинейные сферические волны, которые трудно классифицировать как хорошо известные солитон-, кноидал-, ударные или бриз-тип волны. Эти резонансные сферические волны также существенно отличаются от хорошо известных гладких сферических волн. Однако некоторые выражения для сферических волн напоминают известные решения для поверхностных волн.Виводиться рівняння нелінійної акустики для сферичних хвиль у твердому тілі. Наближений розв’язок цього рівняння ураховує нелінійні, просторові і дисипативні ефекти. Установлено, що у трансрезонансній смузі частот можуть збуджуватися нелінійні сферичні хвилі, які важко класифікувати як добре відомі солитон-, кноїдал-, ударні або бриз-тип хвилі. Ці резонансні сферичні хвилі також суттєво відрізняються від добре відомих гладких сферичних хвиль. Однак деякі вирази для сферичних хвиль нагадують відомі розв’язки для поверхневих хвиль

Experimental and Theoretical Design Methodology of Hemispherical Shells under Extreme Static Loading

We present mathematical dependences describing the research results for metal half-sperical shells subjected to static loading by external pressure. We studied the behavior and conditions of static buckling of empty, styrofoam- filled and geometrically imperfect shells. Regression equations in the form of incomplete cubic polinomials are derived. In planes of governing parameters we plot isolines, analysis of which makes it possible to draw qualitative and quantitative conclusions on the externally pressurized shell behavior.Представлены математические зависимости, описывающие результаты исследований металлических полусферических оболочек при статическом нагружении внешним давлением. При этом исследовались поведение и условия потери устойчивости как пустотелых, так и заполненных пенопластом оболочек с геометрическими несовершенствами. Получены уравнения регрессии в виде неполных кубических полиномов. В плоскостях определяющих параметров построены изолинии, анализ которых позволяет сделать качественные и количественные выводы о поведении оболочек в условиях нагружения внешним давлением.Представлено математичні залежності, що описують результати досліджень металевих напівсферичних оболонок при статичному навантаженні зовнішнім тиском. При цьому досліджувалися поведінка й умови втрати стійкості як пустотілих, так і заповнених пенопластом оболонок із геометричною недосконалістю. Отримано рівняння регресії у вигляді неповних кубічних поліномів. У плоскостях визначальних параметрів побудовано ізолінії, аналіз яких дозволяє зробити якісні і кількісні висновки щодо поведінки оболонок в умовах навантаження зовнішнім тиском