Dobiński relations and ordering of boson operators

We introduce a generalization of the Dobiński relation, through which we define a family of Bell-type numbers and polynomials. Such generalized Dobiński relations are coherent state matrix elements of expressions involving boson ladder operators. This may be used in order to obtain normally ordered forms of polynomials in creation and annihilation operators, both if the latter satisfy canonical and deformed commutation relations

The method of amplitude and phase detection in tapping-mode in dynamic atomic force microscopy

W artykule przedstawiono metodę detekcji drgań sondy pomiarowej w dynamicznym mikroskopie sił atomowych DFM (ang. Dynamic Force Microscopy), która umożliwia jednoczesny, synchroniczny pomiar zarówno amplitudy, jak i fazy składowych harmonicznych sygnału pochodzącego z oscylującej sondy. Model mikroskopu wyposażono w układy wzbudzania oraz detekcji w oparciu o szybkie przetworniki analogowo cyfrowe oraz układ FPGA Vitex-5. Zaimplementowany algorytm dyskretnej transformaty Fouriera FFT oblicza wartość amplitudy pierwszej (lub innej, dowolnej) harmonicznej, która podawana jest do obwodu pętli sprzężenia zwrotnego w celu stabilizacji punktu pracy mikroskopu. Niezależnie przeprowadzana jest również szybka FFT dostarczająca informacji o wartości amplitud oraz faz składowych poszczególnych harmonicznych sygnału z sondy pomiarowej. Opracowana metoda próbkowania pozwala na uniknięcie tak zwanego przecieku transformaty oraz nie wymaga stosowania okienkowania sygnału wejściowego. W opisanym rozwiązaniu informacja o amplitudzie, fazie i zawartości widmowej badanego sygnału jest dostępna praktycznie natychmiast po zakończeniu próbkowania pojedynczego okresu drgań sondy pomiarowej.This paper presents a method of detecting vibrations in a dynamic probe atomic force microscopy DFM (Dynamic Force Microscopy), which allows simultaneous, synchronous measurement of both the amplitude and phase of harmonic signal from the oscillating probe. The model of the microscope is equipped with excitation and detection systems based on the fast 100 MHz analog and digital FPGA Vitex-5. The algorithm implemented discrete Fourier transform FFT calculates the amplitude of the first (or another) harmonic, which is fed to the circuit feedback loop to stabilize the operating point of the microscope. Regardless also fast Fourier transform FFT is done providing information about the amplitude and phase of each harmonic components of the signal from the probe. The presented sampling method avoids the so-called transform leakage and does not require the use of the windowing of the input signal. In the described embodiment information about the amplitude and phase of the spectral content of the test signal is available almost immediately after a single period of oscillation sampling probe

System obrazowania wykorzystujący wyższe harmoniczne w trybie kontaktu przerywanego mikroskopu „Terra AFM”

Terra AFM is the atomic force microscope designed and built by the authors as a device for research applications in advanced technologies in industry and in teaching. In tapping-mode, in atomic force microscopy, the interaction between the tip and the sample is, in fact, non-linear and consequently higher harmonics of the fundamental resonance frequency of the oscillating cantilever are generated. In this paper, we present the Terra AFM system using the method of synchronous detection that allows simultaneously recording the amplitudes and phases of the fundamental resonance frequency and of the higher harmonics. The used detection system, composed of 16 bit 100 mega-samples per second (MSPS) analogue-to-digital converter (ADC) and field-programmable gate array (FPGA) device, allows measuring the amplitude and phase of the cantilever within one oscillation cycle and with good signal-to-noise ratio. As a result, good-quality images at higher harmonics could be obtained with the use of conventional cantilevers. The obtained results prove that higher-harmonics imaging can be used to distinguish between different materials. High spatial resolution (about 1 nm) of the presented system is also demonstrated.Mirroskop Terra AFM jest mikroskopem sił atomowych opracowanym i zbudowanym przez autorów jako urządzenie do zastosowań badawczych, przemysłowych i edukacyjnych w obszarze zaawansowanych technologii. W każdym mikroskopie sił atomowych pracującym w trybie kontaktu przerywanego oddziaływanie pomiędzy sondą i próbką ma charakter nieliniowy, co powoduje powstawanie wyższych harmonicznych częstotliwości podstawowej drgań sondy. W artykule przedstawiono system mikroskopu Terra AFM wykorzystujący metodę detekcji synchronicznej umożliwiającą jednoczesne wyznaczanie amplitudy i fazy wyższych harmonicznych przebiegu podstawowego. Głównymi elementami opracowanego systemu detekcji są przetwornik analogowo-cyfrowy o rozdzielczości 16 bitów i szybkości próbkowania 100 MSPS oraz układ programowalny FPGA pozwalający na pomiar amplitudy i fazy w okresu przebiegu podstawowego drgań sondy z dobrą wartością stosunku sygnału do szumu. Prowadzi to do otrzymywania dobrej jakości obrazów przy wyższych harmonicznych z użyciem typowej sondy mikroskopu AFM. Przedstawiono przykłady uzyskiwanych obrazów, które wskazują na przydatność systemu do rozróżniania obszarów próbek zbudowanych z różnych materiałów. Potwierdzają one również wysoką rozdzielczość przestrzenną (około 1 nm) opracowanego systemu