Chaines de markov a deux indices

Dans cet article, on étudie divers types de processus markoviens homogènes, indexés sur N2 et on en construit certains par un procédé d'innovation. (3) Par une approche analogue à celle du cas continu , on définit, dans la première partie, les notions de chaine markovienne et « -markovienne. Prolongeant par cette étude des travaux, (5), sur le cas stationnaire, on montre que la loi d'une chaine de Markov sur N2 est caractérisée par un triplet de noyaux de transition et une distribution initiale. Une condition pour qu'une telle chaine soit, de plus, * -markovienne est donnée sous une forme littérale. Dans la deuxième partie, on construit des processus *? -markoviens, à valeurs dans un groupe fini, par un système d'équations d'état commandées par un bruit blanc. La classe des chaines ainsi obtenue contient la marche aléatoire, les exemples de(2) et les processus du type de ceux utilisés, (1), (4), pour modéliser des images

Canaux perturbés par un bruit à accroissements indépendants

Le but de cet exposé est de donner l'expression de la quantité d'information transmise à travers le canal suivant non-anticipatif et avec contre-réaction: le signal utile est une fonction aléatoire Xt; le signal reçu Yt est donné par Yt = ∫to ΦS dAS + Bt, où Bt est un processus aléatoire indépendant de X, centré, continu en moyenne quadratique et à accroissements indépendants; At est la variance de la composante gaussienne de Bt et Φt, le signal émis, dépend à la fois de {XS, s < t} et de {YS, s < t}. Le premier paragraphe donne la définition du modèle où apparaît un certain nombre d'hypothèses qui sont énoncées pour les besoins de la rigueur mathématique et qui n'impliquent aucune restriction physique sur le modèle. Le deuxième paragraphe est consacré à l'étude des rapports de vraisemblance pour les deux alternatives: le signal reçu contient ou ne contient pas le signal émis. Finalement, la quantité d'information transmise à travers le canal dans l'intervalle de temps [0,t] est calculée au troisième paragraphe. Elle est égale à It(X,Y) = 1/2 ∫to E(ΦS-ΦS)2dAS, où ΦS est l'espérance conditionnelle de ΦS relativement à {Y, u < s}.

Estimation récursive en transmission numérique

On développe une technique de filtrage non-linéaire récursif pour un modèle où les processus considérés prennent leurs valeurs dans des espaces discrets. Le résultat obtenu a une application immédiate à l'estimation et à la détection d'une classe de signaux codés markoviens, transmis à travers un canal symétrique sans mémoire. E et F représentent deux espaces discrets, B = {Bn; n∊N} et W = {Mn; n∊N} deux suites de variables aléatoires à valeurs respectivement dans E et F, appelés bruits d'état et d'observation, on définit un signal X et une observation Y par les équations suivantes: Xn+1 = fn(Xn,Bn) n et Y n = h n (Xn,Wn) n pour n 0, où f: ExE -> E et h: Ex F -> F. On suppose que le couple (B,W) = {(Bn ,Wn ); n ∊N} est une suite indépendante à valeurs dans Ex F et indépendante de X0 et que, pour tout x, l'application h (x,.): w ->h (x,w) est bijective. En utilisant la méthode de la probabilité de référence, obtient une formule récursive exacte pour le calcul de la loi de probabilité conditionnelle de X n connaissant Y0,....,Yn On considère l'extension de la méthode aux divers cas rencontrés dans les applications, en particulier à celui d'un canal de mémoire finie. Dans ce cas, le résultat obtenu suggère une méthode de détection similaire à celle qui aboutit à l'algorithme de Viterbi. Finalement, on étend la méthode aux signaux à valeurs continues et on en déduit un algorithme d'estimation récursive lorsque l'observation n'est connue que par ses valeurs quantifiées

Regularity and decomposition of two-parameter supermartingales

The well-known Doob-Meyer decomposition of a supermartingale as the difference of a martingale and an increasing process is extended in several ways for two-parameter stochastic processes. In particular, the notion of laplacian is introduced which gives more explicit decomposition for potentials. The optional sampling theorem is stated for a wide class of supermartingales justifying the study of local martingales. Conditions for regularity and continuity for two-parameter processes are given using approximate laplacians. By introducing the notion of optional increasing path, the relation between the regularity of certain quasimartingales and the continuity of the associated integrable variation process is proved.Stopping points optional increasing paths two-parameter processes supermartingales potential regularity

Nonlinear filtering equations for two-parameter semimartingales

Nonlinear filtering equations for two-parameter semimartingales of a Brownian sheet are obtained by an extended reference probability method, also applicable to the known Gaussian linear models.Two-parameter semimartingale Brownian sheet nonlinear filtering reference probability