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Ecuaciones para el Movimiento Orbital de Tipo Hiperb贸lico.
En este TFG, y en analog铆a con las f贸rmulas del movimiento orbital de tipo el铆ptico, se establece un formulario aplicable a sistemas keplerianos perturbados en los que las 贸rbitas de referencia sean de tipo hiperb贸lico. Para ello se consideran en la definici贸n de 鈥搇as variables y elementos orbitales las modificaciones y variantes pertinentes que permitan su adaptaci贸n al movimiento orbital hiperb贸lico. En concreto, se deducen unas ecuaciones diferenciales ("ecuaciones planetarias", tanto en la forma de Lagrange como en la de Gauss) que gobiernan los cambios que experimentan los elementos orbitales de una hip茅rbola kepleriana cuando en el modelo din谩mico se incorporan fuerzas perturbadoras adicionales
Reformulaci贸n kepleriana de un tipo de movimiento pseudokepleriano
Las 贸rbitas keplerianas representan la soluci贸n del problema de dos cuerpos sujetos a la Ley de Gravitaci贸n Universal formulada por Newton, y constituye el punto de partida para el estudio del movimiento de los cuerpos en el Sistema Solar. La aparici贸n de otras fuerzas modifica la 贸rbita (que ya no cumple las leyes de Kepler) de una forma que puede llegar a ser muy compleja de estudiar.A partir del lanzamiento del primer sat茅lite artificial apareci贸 un nuevo problema para la Mec谩nica Celeste que consiste en dise帽ar la 贸rbita para que una misi贸n espacial cumpla sus objetivos.En este trabajo se propone un estudio de las 贸rbitas producidas por fuerzas radiales. Adem谩s se analizar谩 la utilidad de este tipo de 贸rbitas en problemas como las transferencias orbitales.<br /
脫rbitas de sistemas cuasi-keplerianos
En esta Memoria se van a estudiar una familia de sistemas cuasi-keplerianos, es decir, sistemas keplerianos perturbados en los que la perturbaci贸n puede describirse por medio de una fuerza central conservativa (m谩s concretamenete, por medio de potencias naturales del rec铆proco de la distancia). Este problema, originalmente de orden diferencial 6, admite una integral primera vectorial de orden 3, la integral del momento angular, que permite demostrar que el movimiento transcurre en un plano, y reducir la complejidad diferencial del problema a orden 3. Al tratar este problema en coordenadas polares planas obtenemos un sistema de dos ecuaciones diferenciales desacopladas, una de orden uno y una de orden dos, que trataremos mediante una transformaci贸n de Binet, que combina un cambio de variable dependiente y otro de variable independiente, resultando una ecuaci贸n diferencial de segundo orden llamada ecuaci贸n de Binet, y representar谩 a un oscilador unidimensional d茅bilmente no lineal. Un oscilador d茅bilmente no lineal, o cuasi-lienal, se puede describir mediante la ecuaci贸n de un oscilador arm贸nico simple al que se a帽aden t茅rminos no lineales de peque帽a magnitud llamados perturbaciones. Trataremos este tipo de problema mediante un m茅todo de promedios, el m茅todo de Krylov-Bogoliubov-Mitropolsky, en adelante KBM, que busca una soluci贸n desarrollada en serie de potencias de un peque帽o par谩metro, y donde la parte de orden cero de la soluci贸n coincide con la soluci贸n del oscilador arm贸nico simple. Resolviendo la ecuaci贸n del oscilador arm贸nico simple e invirtiendo la transformaci贸n de Binet en la variable dependiente, la 贸rbita del problema de Kepler toma la forma de la ecuaci贸n polar de una c贸nica en coordenadas polares planas. Podemos caracterazar el movimiento kepleriano el铆ptico por un conjunto de seis constantes o elementos orbitales que describen la geometr铆a y la din谩mica de la 贸rbita: el semieje mayor y la excentricidad caracterizan el tama帽o y la forma de la c贸nica soluci贸n del problema. El 谩ngulo del nodo y la inclinaci贸n representan la posici贸n del plano orbital con respecto a un sistema de referencia inercial. El argumento del periastro indica la orientaci贸n del eje de la c贸nica en el plano de la 贸rbita. Finalmente, la 茅poca de paso por el periastro caracteriza cinem谩tica y la din谩mica del problema. En los sistemas cuasi-keplerianos se conserva el tama帽o, la forma y el plano de movimiento de la 贸rbita, pero no el argumento del periastro, que experimenta variaciones seculares, fen贸meno denominado precesi贸n del periastro. Tras aplicar el m茅todo KBM a la ecuaci贸n de Binet del problema cuasi-kepleriano e invertir el cambio de variable dependiente, la 贸rbita aproximada del movimiento cuasi-kepleriano adopta la forma de la ecuaci贸n de una c贸nica en coordenadas polares planas m谩s peque帽os t茅rminos relacionados con la perturbaci贸n, donde la parte que no depende de las perturbaciones coincide con la 贸rbita del problema de Kepler. Interesa, a continuaci贸n, calcular la precesi贸n del periastro, que se particularizar谩 al caso del avance del perihelio de un planeta debido a la influencia de efectos relativistas. Se comprueba que, en t茅rminos de primer orden, el modelo post-newtoniano no relativista de Manev proporciona los mismos resultados que el modelo relativista propuesto por Einstein. Por 煤ltimo, podremos describir una aproximaci贸n a la trayectoria cuasi-kepleriana, al menos formalmente, ya que la soluci贸n aproximada de la 贸rbita nos permite dar una relaci贸n entres la variables angulares de la 贸rbita y el tiempo
Coeficientes de los arm贸nicos esf茅ricos del potencial gravitatorio de un s贸lido e integrales de inercia.
Se deducen f贸rmulas generales para los coeficientes del desarrollo (en forma de serie de arm贸nicos esf茅ricos) del potencial gravitatorio creado por un s贸lido r铆gido arbitrario en un punto exterior. Las expresiones obtenidas, v谩lidas para arm贸nicos de cualquier grado y orden, aparecen como combinaciones lineales de integrales de inercia. Se considera la aplicaci贸n de dichas f贸rmulas para el estudio del potencial gravitatorio de algunos casos concretos.<br /
Aplicaci贸n de la Diferenciaci贸n Autom谩tica al Estudio del Movimiento Orbital
La Derivaci贸n Autom谩tica (DA) es una t茅cnica matem谩tica de derivaci贸n que descompone la funci贸n en funciones elementales binarias y unarias de una forma eficiente. Esta descomposici贸n se llama funci贸n enlazada. Esta t茅cnica no solo se utiliza para obtener la derivada de una funci贸n, tambi茅n nos ayuda a evaluar funciones o a aplicar cualquier operador del que conozcamos sus reglas para cada operaci贸n sobre cada funci贸n elemental.Una de las aplicaciones m谩s importantes de la DA es el c谩lculo de series de Taylor. Dado que cualquier funci贸n puede expresarse como serie de Taylor utilizando la Derivaci贸n Autom谩tica, podemos obtener la soluci贸n de cualquier ecuaci贸n diferencial ordinaria (EDO) en forma de serie de potencias utilizando el M茅todo de Series de Taylor y la DA.Estos m茅todos son aplicados para la resoluci贸n del problema de Kepler y del Problema Principal Ecuatorial de la Teor铆a de Sat茅lites Artificiales.<br /
Soluciones particulares del problema de n cuerpos
El problema del movimiento de dos cuerpos que se atraen por la fuerza de atracci贸n gravitatoria representa la primera aproximaci贸n al estudio del movimiento real de los cuerpos en el espacio. 脡ste es un problema modelo, pues en realidad el Sistema Solar est谩 formado por un gran n煤mero de cuerpos celestes que pueden idealizarse como puntos materiales que interaccionan entre s铆. Ya el propio Newton intent贸 resolver el siguiente problema en grado de complejidad: el conocido como "problema de tres cuerpos". La dificultad intr铆nseca del problema fue puesta de manifiesto por los mejores matem谩ticos de cada 茅poca, hasta que Poincar茅 determina la no integrabilidad del mismo (no puede encontrarse el n煤mero m铆nimo necesario de integrales primeras o constantes del movimiento funcionalmente independientes). Obviamente el problema crece en complejidad cuando, en lugar de tres, se considera un n煤mero n > 3 de cuerpos. Para comprender el comportamiento de tal sistema debe abordarse un estudio sistem谩tico de las soluciones particulares del mismo, desde las m谩s sencillas a las m谩s complicadas: soluciones de equilibrio, 贸rbitas peri贸dicas, 贸rbitas en un toro, etc. En este Trabajo se pretende realizar el estudio de algunas de las soluciones particulares del problema de n cuerpos: las configuraciones centrales y las soluciones homogr谩ficas, sus propiedades y relaciones. Adem谩s de la formulaci贸n del caso general se analizar谩n estas configuraciones en los casos m谩s sencillos de dos, tres y cuatro cuerpos
Geograf铆a de Espa帽a
La obra recoge temas de Geograf铆a adaptados al curriculo dise帽ado por el MEC para dicha materia optativa en segundo de Bachillerato. Pretende llenar el relativo vac铆o editorial que en este campo existe. El trabajo se encuentra estructurado en unidades que han seguido un esquema semejante en el que partiendo de los conocimientos previos del alumno sobre el tema geogr谩fico objeto del estudio, se incluyen elementos que ayudar谩n al alumno: esquema o mapa conceptual del tema, actividades, etc. Esta configuraci贸n pretende estimular la reflexi贸n, el razonamiento, el pensamiento divergente y la generaci贸n de inquietudes hacia la Geograf铆a.ExtremaduraES