Sard's theorem for mappings between Fr\'echet manifolds

In this paper we prove an infinite-dimensional version of Sard's theorem for Fr\'{e}chet manifolds. Let $M$ and $N$ be bounded Fr\'{e}chet manifolds such that the topologies of their model Fr\'{e}chet spaces are defined by metrics with absolutely convex balls. Let $f: M \rightarrow N$ be an $MC^k$-Lipschitz-Fredholm map with k > \max \lbrace {\Ind f,0} \rbrace . Then the set of regular values of $f$ is residual in $N$

Some applications of transversality for infinite dimensional manifolds

We present some transversality results for a category of Fr\'{e}chet manifolds, the so-called $MC^k$-Fr\'{e}chet manifolds. In this context, we apply the obtained transversality results to construct the degree of nonlinear Fredholm mappings by virtue of which we prove a rank theorem, an invariance of domain theorem and a Bursuk-Ulam type theorem

Fr\'echet Lie algebroids and their cohomology

We define Lie and Courant algebroids on Fr\'{e}chet manifolds. Moreover, we construct a Dirac structure on the generalized tangent bundle of a Fr\'{e}chet manifold and show that it inherits a Fr\'{e}chet Lie algebroid structure. We show that the Lie algebroid cohomology of the \bb-cotangent bundle Lie algebroid of a weakly symplectic Fr\'{e}chet manifold $M$ is the Lichnerowicz-Poisson cohomology of $M$

A Global Diffeomorphism Theorem for Fr\'{e}chet spaces

We give sufficient conditions for a $C^1_c$-local diffeomorphism between Fr\'{e}chet spaces to be a global one. We extend the Clarke's theory of generalized gradients to the more general setting of Fr\'{e}chet spaces. As a consequence, we define the Chang Palais-Smale condition for Lipschitz functions and show that a function which is bounded below and satisfies the Chang Palais-Smale condition at all levels is coercive. We prove a version of the mountain pass theorem for Lipschitz maps in the Fr\'{e}chet setting and show that along with the Chang Palais-Smale condition we can obtain a global diffeomorphism theorem

Про застосування міри некомпактності в просторах Фреше

In metric and topological vector spaces the notion of measure of noncompactness is used to associate numerical values to sets so that compact sets get zero measures and other ones obtain positive values that indicate how far they are different from compact sets. This concept was initiated by Kuratowski in early 30s and has been defined and developed in many different ways. The indices of noncompactness can give us sufficient conditions for formulating various fixe point theorems in metric spaces. Another important application of these measurements is in characterization of Fredholm operators in infinite dimensional topological vector spaces. The object of this paper is to provide an appropriate criterion that establishes a connection   between Lipschitz-Fredholm operators in more general context of Fréchet spaces, the Hausdorff and lower measures of noncompactness. Furthermore, by using an arbitrary measure of noncompactness in the sense of Banas and Goebel we obtain a fixed point theorem for Fréchet spaces.В метрических и топологических векторных пространствах понятие меры некомпактности используется для соответствия числовых значений множествам так, что компактные множества получили нулевые меры, а другие получили положительные значения, которые показывают, насколько они отличаются от компактных. Эта концепция была инициирована Куратовским в начале 30-х годов, и была определена и разработана многими различными способами. Меры некомпактности могут дать нам достаточные условия для формулировки различных теорем о неподвижных точках в метрических пространствах. Другое важное применение этих мер  заключается в характеризации операторов Фредгольма в бесконечномерных топологических векторных пространствах. Целью данной работы является создание соответствующего критерия, который устанавливает связь между операторами Липшица-Фредгольма в более общем контексте пространств Фреше и меры некомпактности Хаусдорфа. Кроме того, используя произвольную меру некомпактности в смысле Банаса и Гебеля, мы получаем теорему о неподвижной точке для пространств Фреше.В метричних і топологічних векторних просторах поняття міри некомпактності використовується для відповідності числових значень множинам так, що компактні множини отримують нульові міри, а інші - позитивні значення, які показують, наскільки вони відрізняються від компактних. Ця концепція була ініційована Куратовський на початку 30-х років, і була визначена та розроблена багатьма різними способами. Міри некомпактності можуть дати нам достатні умови для формулювання різних теорем про нерухомі точки в метричних просторах. Інша важливе застосування цих мір полягає в характеризації операторів Фредгольма в нескінченновимірних топологічних векторних просторах. Метою даної роботи є створення відповідного критерію, який встановлює зв'язок між операторами Ліпшиця-Фредгольма в більш загальному контексті просторів Фреше і міри некомпактності Хаусдорфа. Крім того, використовуючи довільну міру некомпактності в сенсі Банаса і Гебеля, ми отримуємо теорему про нерухому точку для просторів Фреше