Logarithmic Jet Bundles and Applications

We generalize Demailly's construction of projective jet bundles and strictly negatively curved pseudometrics on them to the logarithmic case. We establish this logarithmic generalization explicitly via coordinates, just as Noguchi's generalization of the jets used by Green-Griffiths. As a first application, we give a metric proof for the logarithmic version of Lang's conjecture concerning the hyperbolicity of complements of divisors in a semi-abelian variety as well as for the corresponding big Picard theorem.Comment: 49 pages, Late

Sur la conjecture de Kobayashi et l'hyperbolicité des hypersurfaces projectives en dimension 2 et 3

En 1970, S. Kobayashi a posé le problème de savoir si les hypersurfaces génériques de grand degré de l'espace projectif complexe et leurs complémentaires étaient hyperboliques. Dans la première partie de cette thèse nous montrons dhyperbolicité des complémentaires de courbes génériques à deux composantes de degrés suffisamment grands dans le plan. Dans une seconde partie, nous faisons l'étude des jets de Demailly en dimension 3 et nous obtenons leur caractérisation algébrique. En utilisant la théorie de la représentation des groupes linéaires, ceci nous permet de donner la structure du gradué du fibré des jets d'ordre 3 en dimension 3, étape importante pour obtenir des théorèmes d'hyperbolicité. Nous justifions la nécessité de travailler avec des jets de différentielles d'ordre 3 par l'absence de jets de différentielles d'ordre 2 sur les hypersurfaces lisses de l'espace projectif complexe de dimension 4.In 1970, S. Kobayashi asked the question of the hyperbolicity of generic hypersurfaces (and their complement) of high degree in the complex projective space. In the first part of this thesis the hyperbolicity of the complement of generic curves with two components of sufficiently high degrees is proved. In the second part, Demailly's jets are studied in dimension 3 and their algebraic characterization is given. Using the theory of representation of the general linear group, we give the structure of the graded bundle of jets of order 3 in dimension 3, important step to obtain theorems of hyperbolicity. The non existence of global jets of order 2 on smooth hypersurfaces of the projective space of dimension 4 is proved and justifies the necessity to work with jets of order 3.BREST-BU Droit-Sciences-Sports (290192103) / SudocSudocFranceF

Classes de Chern sur les espaces tordus

Dans cette thèse, on se propose de définir les classes de Chern de fibrés vectoriels réels au-dessus de variétés algébriques réelles sans point réel. On construit d abord la catégorie des espaces tordus, dont les objets sont des espaces localement annelés, dont le faisceau structural est localement isomorphe au faisceau des fonctions continues à valeurs complexes sur l espace topologique sous-jacent. On montre qu on peut identifier un tel espace tordu au quotient d un espace topologique par une action libre d un groupe (de Galois) G à deux éléments. L ensemble des points complexes d une variété algébrique réelle X sans point réel est naturellement muni d une telle action ; en un sens, l espace tordu associé s identifie à l ensemble des points fermés du schéma X. On définit des fibrés vectoriels tordus en les réalisant, soit comme quotients de fibrés vectoriels, soit comme faisceaux au-dessus d espaces tordus. On construit ensuite les classes de Chern du point de vue de la géométrie différentielle ou analytique, en considérant les espaces tordus ayant une telle structure. On donne une version tordue du théorème de de Rham. Les classes de Chern sont alors des classes de cohomologie de de Rham tordues. On généralise la notion d orientabilité aux fibrés vectoriels tordus, ce qui permet de généraliser les notions de classe de Thom, d Euler et de Chern. Ces dernières sont des classes appartenant à des groupes de cohomologie à coefficients entiers tordus, et constituent donc un raffinement de celles définies précédemment. On établit alors leurs propriétés fondamentales. On applique ces résultats en géométrie algébrique réelle en étudiant les espaces projectifs réels sans point réel.In this thesis, we define Chern classer of fiber bundles over real algebraic manifolds having no real point. We begin by defining the category of twisted spaces, which objects are locally ringed spaces, endowed with, as structure sheaf a sheaf locally isomorphic to the sheaf of continuous complex-valued functions over the underlying topological space. We show that one can identify such a twisted space to the quotient of a topological space under a free action of a Galois group G, containing two elements. The set of all complex points of a real algebraic variety X having no real point is naturally endowed with such an action. Hence, one can identify the associated twisted space with the set of closed points of the scheme X. Then, we define twisted vector bundles in two equivalent waysa quotients of vector bundles, and sheaves over twisted spaces. We give a construction of Chern classes from the point of view of differential and analytic geometries, considering twisted spaces having one of the former structures. These constructions allow us to show a twisted version of the de Rham theorem. In this context, Chern classes are twisted de Rham cohomology classes. We generalize the notion of orientability to twisted vector bundles, in order to extend the notions of Thom, Euler and Chern classes. The latter are classes belonging to twisted integral cohomology groups, and can be seen as a refinement of the Chern classes in the differential or analytic context. We establish some of their fundamental properties, and apply the results studying real projective spaces having no real point.BREST-BU Droit-Sciences-Sports (290192103) / SudocSudocFranceF

Logarithmic Jet Bundles and Applications

Recently J. P. Demailly gave a natural desingularization of the quotient of jet bundles by the full reparametrization group. Using this, he was able to complete an approach by Green and Griffiths to construct negatively curved jet pseudometrics on subvarieties of Abelian varieties to prove Bloch's theorem metrically. In the present paper we extend this technique to the logarithmic case, yielding a simple and effective tool for studying the hyperbolic geometry of quasiprojective varieties. As a first application, we use the technique to give a metric proof for the logarithmic version of Lang's conjecture concerning the hyperbolicity of complements of divisors in a semi-abelian variety as well as for the corresponding big Picard theorem. 0 Introduction Complex hyperbolic manifolds are considered to be the generalizations of hyperbolic Riemann surfaces to higher dimensions. During the last 30 years they have been studied extensively (see, for example [10], [11]). However, it is still an ..

Problèmes d'unicité pour des applications méromorphes de l'espace complexe affine de dimension m dans l'espace complexe projectif de dimension n

En 1975 Fujimoto a démontré que pour deux applications méromorphes non linéairement dégénérées f et g de Cm dans CPn, si elles ont les mêmes images réciproques, comptées avec leurs multiplicités, par rapport à (3n+2) hyperplans de CPn en position générale, alors f=g (Théorème d unicité). Si on a les mêmes conditions pour (3n+l) de tels hyperplans, Fujimoto a démontré également qu il existe une transformation linéaire projective L de CPn telle que f=L.g. Depuis, ce problème a été étudié. d une manière intensif par Fujimoto, Stoll, Smiley, Steinmetz, Ji, Ru, Shirosaki, Tu et d autres auteurs. Dans cette thèse, nous avons continué d étudier ce problème. Nous avons reçu les résultats suivants : +) Théorèmes d unicité pour le cas d un nombre petit d hyperplans-cibles fixes et de multiplicités tronquées, Ces résultats donnent une réponse complète à une question posée par Fujimoto en 1998. +)Théorémes d unicité pour le cas de (3n+1) hyperplauscibles mobiles et de multiplicités tronquées. +) Une généralization du Lemme de Bord pour des applications méromorphes.+) Théorèmes de dégénération linéaire pour le cas de (2n+2) hyperplans-cibles (fixes ou mobiles).In 1975, Fujimoto showed that for twn i1arlynudegenerate meromorphic mappiugs f and g of Cm into CPn, if they have the same inverse images, counted with multiplicities, for (3n+2) hyperplanes in general position in CPn, then f=g (Uniqueness Theorem), and there exists a projective linear transfomation L of CPn to itself such that f=L.g if they have tise same inverse images, counted with multiplicities, for (3n+1) hyperplanes in general position in CPn. Since that time, this problem bas been studied intensively by Fujimoto, Stoll, Smiley, Steiametz, Ji, Ru, Shiroshaki, Tu, and others. In this thesis, we continue to study the above problem. We bave obtained the following results: +) Uniqueness Thonrems for the case of few fixed hyperplanes and truncated multiplicities. These resuits give a complete answer for an open problem which -was asked by Fujimoto in 1998. +) Uniqueness Theorems for the case of (3n+l) moving hyperplanes and truncated multiplicities. +) A generalization of flue Borel Lemma for the meromorphic functions. +) Theorems of linear degeneracy for the case of (2n+2) hyperplanes (fixed or moving).BREST-BU Droit-Sciences-Sports (290192103) / SudocSudocFranceViet-NamFRV

Problèmes d'unicité pour des applications méromorphes de Cn dans CPN et ramification de l'application de Gauss pour des surfaces minimales complètes

En 1975 H. Fujimoto a généralisé les résultats d unicité pour des fonctions holomorphes dus à Nevanlinna pour des applications méromorphes de Cn dans CPN. Il a démontré que pour deux applications méromorphes non linéairement dégénérées f et g de Cn dans CPN, si elles ont les mêmes images réciproques, comptées avec leurs multiplicités, par rapport à (3N + 2) hyperplans de CPN en position générale, alors f g. Depuis, ce problème a été étudié d une manière intensive par H. Fujimoto, W. Stoll, L. Smiley, M. Ru, G. Dethloff-T.V.Tan, D.D.Thai-S.D.Quang, Chen-Yan et d autres auteurs. En parallèle avec le développement de la théorie de Nevanlinna, la théorie de distribution des valeurs de l application de Gauss des surfaces minimales dans Rm a été étudiée d une manière intensive par R.Osserman, S.S. Chern, F. Xavier, H. Fujimoto, S.J. Kao, M. Ru et d autres auteurs. Dans cette thèse, nous avons continué d étudier ces problèmes. Nous avons obtenu les résultats principaux suivants: +) Théorèmes d unicité avec multiplicités tronquées des applications méromorphes de Cn dans CPN ayant les mêmes images réciproques par rapport è (2N + 2) hyperplans de CPN. +) Théorèmes d unicité avec multiplicités tronquées des applications méromorphes de Cn dans CPN ayant des cibles mobiles et un ensemble d identité petit. +) Théorèmes d unicité avec multiplicités tronquées des applications méromorphes de Cn dans CPN ayant des cibles fixes ou mobiles et satisfaisant des conditions sur les dérivées. +) Théorèmes de ramification de l application de Gauss de certaines classes de surfaces minimales complètes dans Rm (m = 3,4).In 1975, H. Fujimoto generalized Nevanlinna s known results for meromorphic fonctions to the case of meromorphic mappings of Cn into PN(C). He proved that for two linearly nondegenerate meromorphic mappings f and g of C into PN(C). if they have the saine inverse images counted with multiplicities for 3N + 2 hyperplanes in general position in PN(C) then f = g. After that, this problem has been studied intensively by a number of mathematicans as H. Fujimoto, W. Stoll, L. Smiley, M. Ru, G. Dethloff - T. V. Tan, D. D. Thai - S. D. Quang, Chen-Yan and so on. Parallel to the development of Nevanlinna theory, the value distribution theory of the Gauss map of minimal surfaces immersed in Rm vas studied by many mathematicans as R. Osserman, S.S. Chern, F. Xavier, H. Fujimoto, S. J. Kao, M. Ru and many other mathematicans. In this thesis, we continuous studing some problems on these directions. The main goals of the thesis are followings. Unicity theorems with truncated multiplicities of meromorphic mappings of Cn into PN(C) sharing 2N + 2 fixed hyperplanes. Unicity theorems with truncated multiplicities of meromorphic mappings of Cn into PN(C) for moving targets, and a small set of identity.BREST-SCD-Bib. electronique (290199901) / SudocSudocFranceF

Logarithmic jet bundles and applications

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