Geometric Learning with Positively Decomposable Kernels

Kernel methods are powerful tools in machine learning. Classical kernel methods are based on positive-definite kernels, which map data spaces into reproducing kernel Hilbert spaces (RKHS). For non-Euclidean data spaces, positive-definite kernels are difficult to come by. In this case, we propose the use of reproducing kernel Krein space (RKKS) based methods, which require only kernels that admit a positive decomposition. We show that one does not need to access this decomposition in order to learn in RKKS. We then investigate the conditions under which a kernel is positively decomposable. We show that invariant kernels admit a positive decomposition on homogeneous spaces under tractable regularity assumptions. This makes them much easier to construct than positive-definite kernels, providing a route for learning with kernels for non-Euclidean data. By the same token, this provides theoretical foundations for RKKS-based methods in general

Invariant kernels on Riemannian symmetric spaces: a harmonic-analytic approach

This work aims to prove that the classical Gaussian kernel, when defined on a non-Euclidean symmetric space, is never positive-definite for any choice of parameter. To achieve this goal, the paper develops new geometric and analytical arguments. These provide a rigorous characterization of the positive-definiteness of the Gaussian kernel, which is complete but for a limited number of scenarios in low dimensions that are treated by numerical computations. Chief among these results are the L$^{\!\scriptscriptstyle p}$-$\hspace{0.02cm}$Godement theorems (where $p = 1,2$), which provide verifiable necessary and sufficient conditions for a kernel defined on a symmetric space of non-compact type to be positive-definite. A celebrated theorem, sometimes called the Bochner-Godement theorem, already gives such conditions and is far more general in its scope, but is especially hard to apply. Beyond the connection with the Gaussian kernel, the new results in this work lay out a blueprint for the study of invariant kernels on symmetric spaces, bringing forth specific harmonic analysis tools that suggest many future applications

Influência do uso de um mix de bactérias diaztróficas na biometria e no conteúdo de clorofila de plantas de cana-de-açúcar / Use of a mix of diazotrophic bacteria on the biometrics and chlorophyll content of sugarcane plants

A cana-de-açúcar é uma cultura com grande potencial econômico para o Brasil, sendo o país responsável por mais de 25% da produção mundial. A região de São Paulo é a maior produtora, ficando o Rio Grande do Sul responsável por menos de 5% do total produzido, isso porque a produtividade média do estado é baixa, devido ao uso de variedades antigas que geralmente apresentam baixo rendimento e pouca adaptação às condições ambientais. o objetivo deste trabalho foi avaliar os efeitos do uso de um mix de cinco espécies de bactérias diazotróficas nas características biométricas e conteúdo de clorofila de plantas de cana-de-açúcar. O trabalho foi desenvolvido na Embrapa Clima Temperado, sob ambiente protegido, tipo telado. O delineamento experimental utilizado foi o de blocos casualizados, com 6 repetições, onde cada parcela foi representada por três plantas de cana-de-açúcar. Os fatores foram arranjados em esquema bifatorial (5x2), ao testar cinco variedades de cana-de-açúcar e o uso de bactérias diazotróficas (com e sem uso de inoculante bacteriano), totalizando 10 tratamentos. Aos 120 dias foram realizadas as avaliações de número de folhas, número de gemas, altura de planta, diâmetro de colmo e índice de clorofila (SPAD). Pode-se concluir que o uso de bactérias diazotróficas no cultivo de cana-de-açúcar promove aumentos significativos em características importantes, como altura de planta, diâmetro de colmo e índice de clorofila. E através da fixação biológica de nitrogênio, pode melhorar o estado nutricional das plantas, levando ao uso de menor quantidade de fertilizantes nitrogenados, o que diminui os impactos ambientais da utilização desses insumos e torna o cultivo da cana-de-açúcar mais sustentável