Quantum Wilson surfaces and topological interactions

We introduce the description of a Wilson surface as a 2-dimensional topological quantum field theory with a 1-dimensional Hilbert space. On a closed surface, the Wilson surface theory defines a topological invariant of the principal $G$-bundle $P \to \Sigma$. Interestingly, it can interact topologically with 2-dimensional Yang-Mills and BF theories modifying their partition functions. We compute explicitly the partition function of the 2-dimensional Yang-Mills theory with a Wilson surface. The Wilson surface turns out to be nontrivial for the gauge group $G$ non-simply connected (and trivial for $G$ simply connected). In particular we study in detail the cases $G=SU(N)/\mathbb{Z}_m$, $G=Spin(4l)/(\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2)$ and obtain a general formula for any compact connected Lie group.Comment: 15 page

Wilson surface observables from equivariant cohomology

Wilson lines in gauge theories admit several path integral descriptions. The first one (due to Alekseev-Faddeev-Shatashvili) uses path integrals over coadjoint orbits. The second one (due to Diakonov-Petrov) replaces a 1-dimensional path integral with a 2-dimensional topological $\sigma$-model. We show that this $\sigma$-model is defined by the equivariant extension of the Kirillov symplectic form on the coadjoint orbit. This allows to define the corresponding observable on arbitrary 2-dimensional surfaces, including closed surfaces. We give a new path integral presentation of Wilson lines in terms of Poisson $\sigma$-models, and we test this presentation in the framework of the 2-dimensional Yang-Mills theory. On a closed surface, our Wilson surface observable turns out to be nontrivial for $G$ non-simply connected (and trivial for $G$ simply connected), in particular we study in detail the cases $G=U(1)$ and $G=SO(3)$.Comment: 22 page

Towards bosonization of Virasoro coadjoint orbits

We show that Schwarzian theories associated to certain hyperbolic and parabolic Virasoro coadjoint orbits admit bosonization, i.e. a global $S^1$-equivariant Darboux chart in which the corresponding path integral becomes Gaussian. In this chart, correlation functions of bilocals, time-ordered and out-of-time ordered, can be computed explicitly. We conjecture that a similar global chart exists for the Teichm\"uller orbit.Comment: 28 page

On enumerative problems for maps and quasimaps: freckles and scars

We address the question of counting maps between projective spaces such that images of cycles on the source intersect cycles on the target. In this paper we do it by embedding maps into quasimaps that form a projective space of their own. When a quasimap is not a map, it contains freckles (studied earlier) and/or scars, appearing when the complex dimension of the source is greater than one. We consider a lot of examples showing that freckle/scar calculus (using excess intersection theory) works. We also propose the "smooth conjecture" that may lead to computation of the number of maps by an integral over the space of quasimaps.Comment: 53 page

Wilson surface theory

Le présent travail décrit la théorie des surfaces de Wilson. Nous commençons par la définition d'une observable de ligne de Wilson dans les théories de jauge, à partir de laquelle nous construisons d'abord une observable de surface de Wilson, puis une théorie de surface de Wilson à 2 dimensions indépendante pouvant interagir topologiquement avec d'autres théories de jauge. Cette thèse contient les résultats suivants. Une intégrale de chemin à 1 dimension sur des orbites coadjointes, correspondant à une ligne de Wilson, est remplacée par un modèle sigma topologique à 2 dimensions. Nous montrons que ce modèle sigma est une extension équivariante de la forme symplectique de Kirillov sur l’orbite coadjointe. Cela nous permet de définir des observables de surface de Wilson sur des surfaces bidimensionnelles arbitraires (y compris fermées). Nous donnons une nouvelle description par une intégrale de chemin pour les lignes et les surfaces de Wilson en termes de modèle sigma de Poisson. La théorie de surface de Wilson est formulée en tant que théorie indépendante - une théorie topologique bidimensionnelle des champs quantiques avec un espace de Hilbert à 1 dimension. Cette théorie a le Lagrangien d'une théorie BF avec une contrainte sur le champ B. Nous avons calculé les fonctions de partition sur toutes les surfaces à 2 dimensions et pour tous les types topologiques de fibrés de jauge. Sur une surface fermée, la théorie de surface de Wilson définit un invariant topologique du fibré $G$-principal. La théorie de surface de Wilson peut interagir avec une théorie de jauge via la topologie des fibrés principaux. Nous décrivons ces interactions avec les théories BF et de Yang-Mills à 2 dimensions et en déduisons des formules pour les fonctions de partition modifiées par les interactions. Nous calculons explicitement les fonctions de partition de la théorie bidimensionnelle de Yang-Mills en interaction avec une surface de Wilson pour les cas $G = U (1)$, $G = SO (3)$, $G = SU (N) / {mathbb {Z} _m}$, $G = Spin (4l) / {mathbb {Z} _2 oplus mathbb {Z} _2}$ et obtenons une formule générale pour tout groupe de Lie connexe compact