Resonant effects in random dielectric structures

Recently, a theory for artificial magnetism in two-dimensional photonic crystals has been developed for large wavelength using homogenization techniques. In this paper we pursue this approach within a rigorous stochastic framework: dielectric parallel nanorods are randomly disposed, each of them having, up to a large scaling factor, a random permittivity \epsilon(\omega) whose law is represented by a density on a window \Delta=[a,b]x[0,h] of the complex plane. We give precise conditions on the initial probability law (permittivity, radius and position of the rods) under which the homogenization process can be performed leading to a deterministic dispersion law for the effective permeability with possibly negative real part. Subsequently a limit analysis h->0, accounting a density law of \epsilon, which concentrates on the real axis, reveals singular behavior due to the presence of resonances in the microstructure

Minimization variational principles for acoustics, elastodynamics, and electromagnetism in lossy inhomogeneous bodies at fixed frequency

The classical energy minimization principles of Dirichlet and Thompson are extended as minimization principles to acoustics, elastodynamics and electromagnetism in lossy inhomogeneous bodies at fixed frequency. This is done by building upon ideas of Cherkaev and Gibiansky, who derived minimization variational principles for quasistatics. In the absence of free current the primary electromagnetic minimization variational principles have a minimum which is the time-averaged electrical power dissipated in the body. The variational principles provide constraints on the boundary values of the fields when the moduli are known. Conversely, when the boundary values of the fields have been measured, then they provide information about the values of the moduli within the body. This should have application to electromagnetic tomography. We also derive saddle point variational principles which correspond to variational principles of Gurtin, Willis, and Borcea.Comment: 32 pages 0 figures (Previous version omitted references

Optimisation de problèmes de transport

L'essentiel de la thèse est consacré à l'asymptotique d'une suite de problèmes de transport. Dans chacun de ces problèmes dont diverses variantes apparaissent en économie mathématique et en théorie du signal, il s'agit de trouver une mesure discrète minimisant le transport vers une mesure absolument continue donn\'ee f et vérifiant une contrainte du type H(u)£m où H est une entropie donnée et m est un paramètre que nous faisons tendre vers + . Dans un premier temps, nous étudions le cas où f est une densité uniforme sur un cube et H(u)=S (u(x))a avec aÎ[0,1[. Dans le cas général, nous ramenons l'asymptotique de tels problèmes à la détermination de la G-limite de fonctionnelles naturellement associées à la distance de Wasserstein. Dans une deuxième partie de la thèse, nous présentons des perspectives nouvelles de problèmes de transport avec coût dépendant du temps. Le cas particulier de coûts "homogènes" (ne dépendant que de la vitesse moyenne) permet d'écrire des conditions d'optimalité pour le transport de Wasserstein Wp (p>1) sous forme d'un système d'équations eikonale-diffusion (écrit au sens des mesures). Ceci généralise les résultats du cas p=1 ( L. Evans et W. Gangbo, G. Bouchitté et G. Buttazzo) et ceux de Brenier (p>1) au cas où les mesures transportées sont singulières.The main issue of the thesis is the study of the asymptotic behaviour of optimal transportation problems. Such problems occurs in economy and signal theory. Each of them consists in finding the best discrete measure u wich minimizes the transport to an absolute continuous measure f, subject to a constraint of the kind H(u)£m where H is a given entropy functional. In a first step, we study the case where f is a uniform density on a cube and H(u)=S (u(x))a with aÎ[0,1[. In the general case, we reduce the question of the asymptotic behaviour to the description of the G-limit of a suitable functionnal naturally associated to the Wasserstein distance. In the second part of the thesis, we present new applications of transport problems with time depending cost. The particular case of homogeneous cost (depending only on the average speed) allows us to write optimality conditions for the Wasserstein transport Wp (p>1) as a system of equations (eikonal-diffusion) written in the sense of measures. This generalizes the results obtained in the case p=1 ( L. Evans and W. Gangbo, G. Bouchitté and G. Buttazzo) and those of Brenier (p>1) to the case where the transported measures are singular.TOULON-BU Centrale (830622101) / SudocSudocFranceF

Singular Perturbations and Homogenization in Stratified Media

. We consider a heterogeneous structure which is stratified in some direction (say x1 ). The strips are assumed to have very low or very high conductivity which means that the conductivity coefficient a(x1 ) ranges over ]0;+1[ oscillating without the usual boundedness assumption (with respect to the L 1 -norm) of a and a \Gamma1 . This problem has been already considered by C.Picard ,J. Mossino and B.Heron who studied in particular the asymptotic behaviour as "!0 of the diffusion equation: () \Gammadiv(a " Du)=f + boundary condition under the assumption that the sequences (a " ) and (a " ) \Gamma1 have limits for the weak* topology of L 1 . In this paper (see also preprint [19]), we propose a new method (convex functionals on measures ranging into L 2 ) which allow us to pass to the limit in () when (a " ) and (a " ) \Gamma1 converges -weakly to general Radon measures, say m and ¯. Due to the loss of coercivity, the limit of the sequence of solutions (u " ) may have disc..

Optimisation de la compliance de structures élastiques minces

Le sujet principal de la Thèse est l optimisation de la compliance des structures élastiques minces. Le problème consiste en déterminer la configuration la plus résistante, lorsqu'une quantité infinitésimale de matériau élastique est soumis à une force fixée et est confinée dans une région de volume infinitésimal.La résistance au chargement peut être mesurée en calculant une fonctionnelle de forme, la compliance, dans laquelle la forme représente le volume occupé par le matériau élastique. Donc nous sommes conduits à étudier un problème de minimisation d'une fonctionnelle de forme, sous une contrainte appropriée.Nous nous intéresserons plus particulièrement au cas où la région de design est un fil fin, représenté par un cylindre de section transverse infinitésimale. L'étude est motivée par des problèmes d'ingénierie: les structures minces sont très intéressantes d'un point de vue pratique.La stratégie utilisée tire son inspiration des travaux récents par I. Fragalà, G. Bouchitté et P. Seppecher, dans lesquels les auteurs considèrent des plaques élastiques [G. Bouchitté, I. Fragalà, P. Seppecher: Structural optimization of thin plates: the three dimensional approach., Arch. Rat. Mech. Anal. (2011)]. Cependant il faut souligner que le cas du cylindre est loin de se résumer à une variante technique du cas des plaques. Comme nous le verrons en effet, le modèle limite obtenu dans l'analyse asymptotique 3d-1d est plus riche et subtile que celui correspondant à une analyse asymptotique 3d-2d.L'étude des configurations optimales pour le modèle limite obtenu nous a conduit à une problématique nouvelle: l'existence de vraies forme optimales (donc sans apparition de structures composites) pour une barre en régime de pure torsion est liée à l'existence de solutions pour un problème non standard de frontière libre dans le plan. Ce problème représente un challenge et nous nous contenterons de donner quelques premiers résultats et perspectives.Par ailleurs, en liaison avec ce problème, nous développerons une stratégie nouvelle pour caractériser la dérivée de forme pour le minimum d'une fonction intégrale. La théorie de dérivées de forme est un sujet très largement étudié (voir e.g. la monographie de A. Henrot et M.Pierre Variations et Optimisation de Formes. Une Analyse Géométrique, Springer Berlin (2005), et les références qui y sont contenues), mais les techniques classiques qui y sont utilisées s'appuient sur des hypothèses de régularité non vérifiées dans notre cas.The main topic of the Thesis is the optimization of the compliance of thin elastic structures.The problem consists in finding the most robust configurations, when an infinitesimal amount of elastic material is subjected to a fixed force, and contained within a region having infinitesimal volume.The resistance to a load can be measured by computing a shape functional, the compliance, in which the shape represents the volume occupied by the elastic material. Thus we are led to study a minimization problem of a shape functional, under suitable constraints.In particular, we treat the case in which the design region is a thin rod, represented by a cylinder with infinitesimal cross section. The study finds its motivation in engineering problems: thin structures are very convenient to be used in practical applications.The approach we adopt draws inspiration from some recent works by I. Fragalà, G. Bouchitté and P. Seppecher, in which the authors deal with the case of thin elastic plates [G. Bouchitté, I. Fragalà, P. Seppecher: Structural optimization of thin plates: the three dimensional approach., Arch. Rat. Mech. Anal. (2011)]. We point out that these two problems are not merely technical variants one of the other, due to the substantial difference between the limit passages 3d-1d and 3d-2d, namely from 3 to 1 and from 3 to 2 dimensions.The study of optimal configurations led us to face another interesting variational problem: actually to establish whether homogenization phenomena occur in bars in pure torsion regime turns out to be equivalent to solve a nonstandard free boundary problem in the plane. This new problem is very challenging and, besides the link with torsion rods, it has mathematical interest in itself. One of the tools which can be employed to attack the problem is shape derivative for minima of integral functionals. The theory of shape derivatives is a widely studied topic (see e.g. the monograph by A. Henrot and M.Pierre Variations et Optimisation de Formes. Une Analyse Géométrique, Springer Berlin (2005), and the references therein), but the approach we propose in new and relies on assumptions which are weaker that the classical ones.TOULON-Bibliotheque electronique (830629901) / SudocSudocFranceF

Etude mathématique et numérique de cristaux photoniques fortement contrastés

Dans cette thèse, on se propose d étudier rigoureusement le comportement macroscopique de matériaux composites fortement contrastés dans le cadre de l électromagnétisme. Nous considérons des structures constituées de micro-inclusions réparties périodiquement (ou aléatoirement), au sein desquelles un matériau de très grande permittivité, ou de très grande conductivité, sera disposé. En pratique, une telle structure occupe un domaine borné 3D et est éclairée par une onde incidente monochromatique (de fréquence fixée) venant de l infini. Notre approche mathématique consiste à passer à la limite dans le système de Maxwell décrivant le problème de diffraction lorsque la distance séparant les inclusions tend vers zéro, et que l indice électromagnétique des inclusions tend vers l infini ( fort contraste ). Nous étudions deux types de structures diffractantes 3D qui permettent de réaliser des matériaux de permittivité ou perméabilité négatives. L étude asymptotique et basée sur la méthode de convergence double-échelle (parfois dans une variante stochastique), et les problèmes sur la cellule de périodicité qui en résultent sont résolus par méthode spectrale. Ceci permet d obtenir explicitement les tenseurs effectifs en fonction de la fréquence, mettant ainsi en évidence leurs grandes variations autour de fréquences de résonances.TOULON-Bibliotheque electronique (830629901) / SudocSudocFranceF