Рівномірний підсилений закон великих чисел без припущень стосовно класу множин

We study the sums of identically distributed random variables whose indices belong to certain sets of a given family A in R^d, d >= 1. We prove that sums over scaling sets S(kA) possess a kind of the uniform in A strong law of large numbers without any assumption on the class A in the case of pairwise independent random variables with finite mean. The well known theorem due to R. Bass and R. Pyke is a counterpart of our result proved under a certain extra metric assumption on the boundaries of the sets of A and with an additional assumption that the underlying random variables are mutually independent. These assumptions allow to obtain a slightly better result than in our case. As shown in the paper, the approach proposed here is optimal for a wide class of other normalization sequences satisfying the Martikainen–Petrov condition and other families A. In a number of examples we discuss the necessity of the Bass–Pyke conditions. We also provide a relationship between the uniform strong law of large numbers and the one for subsequences.Key words: sums of random variables, uniform in a family of sets limit results, strong law of large numbers.Pages of the article in the issue: 39 - 48Language of the article: UkrainianМи вивчаємо суми однаково розподілених випадкових величин, індекси яких належать множинам з певної сім'ї A в R^d, d>=1. Для таких сум доведено так звану рівномірну у класі множин теорему про підсилений закон великих чисел без жодногообмеження на A у випадку попарно незалежних випадкових величин зі скінченим математичним сподіванням. Відома теорема Басса-Пайка є аналогом отриманого результату, в якій використовується певне додаткове обмеження на границі множин, а також припущення про незалежність у сукупності відповідних випадкових величин. За рахунок цих додаткових припущень результат Басса-Пайка є більш точним, але результат, отриманий у цій роботі, справджується для більш ширококого класу випадкових величин та сім'ї A. В роботі також показано, що запропонований підхід є оптимальним для інших нормувань, які задовольняють умову Мартікайнена-Петрова. Ми наводимо також низку прикладів та контрприкладів, які пояснюють суть умови Басса-Пайка стосовно сім'ї A. Наведено зв'язок отриманого результату та підсиленого закону великих чисел для підпослідовностей.

Uniform strong law of large numbers

We prove the strong law of large numbers for random signed measures. The result is uniform over a family of subsets under mild assumptions