Volumes of polytopes in spaces of constant curvature

We overview the volume calculations for polyhedra in Euclidean, spherical and hyperbolic spaces. We prove the Sforza formula for the volume of an arbitrary tetrahedron in $H^3$ and $S^3$. We also present some results, which provide a solution for Seidel problem on the volume of non-Euclidean tetrahedron. Finally, we consider a convex hyperbolic quadrilateral inscribed in a circle, horocycle or one branch of equidistant curve. This is a natural hyperbolic analog of the cyclic quadrilateral in the Euclidean plane. We find a few versions of the Brahmagupta formula for the area of such quadrilateral. We also present a formula for the area of a hyperbolic trapezoid.Comment: 22 pages, 9 figures, 58 reference

Avaliação de genótipos de aveia branca sob estresse de ácidos orgânicos Responses of white oat genotypes to stresses of organic acids

A ocorrência de condições anaeróbias nos solos hidromórficos, associada com a presença de matéria orgânica favorece o desenvolvimento de microrganismos anaeróbios que produzem substâncias fitotóxicas, principalmente ácidos orgânicos de cadeia curta. O objetivo do trabalho foi avaliar a resposta de 20 genótipos de aveia (Avena sativa L.) aos ácidos acético, propiônico e butírico. O trabalho foi executado em sistema de hidroponia com três doses (0; 3 e 6 mM) da mistura dos três ácidos na relação 6:3:1 respectivamente. O delineamento utilizado foi em blocos casualizados com três repetições em esquema fatorial. As variáveis mensuradas foram: comprimento de raízes (CR) e parte aérea (CPA), número de raízes (NR) e matéria seca de raízes (MSR) e parte aérea (MSPA). Foram procedidas análise de variância e ajustes de regressão. Os efeitos de interação entre doses x genótipos para as variáveis CR e MSR revelaram significância e as regressões estabelecidas para estas variáveis, revelaram dois genótipos com estabilidade de crescimento radicular (OR-3 e FAPA-5) e três com estabilidade de acúmulo de matéria seca (OR-3, UFRGS-17 e UPF-15) frente ao estresse por ácidos orgânicos. A caracterização destes genótipos à ação fitotóxica dos ácidos orgânicos é importante fonte de recursos aos programas de melhoramento genético que visem obter genótipos com elevada capacidade produtiva, em solos de várzea do Sul do Brasil sob plantio direto ou cultivo mínimo.<br>The association of anaerobic conditions with high organic matter content in hydromorphic soils favors the development of anaerobic microorganisms that produce phytotoxic substances, especially short chain organic acids. The objective of this investigation was to evaluate the response of 20 oat (Avena sativa L.) genotypes to the exposure of acetic, propionic and butyric acids in hydroponic system. Three doses (0; 3 and 6 mM) of a mixture of the three acids at a 6:3:1 ratio, respectively were tested. The experimental design was randomized blocks with three replications on a factorial scheme. Measured variables were root (CR) shoot (CPA) length, root number (NR), root (MSR) and shoot (MSPA) dry matter. Variance analyses and regression fitness were performed. The effects of the interaction between doses and genotypes were significant for the variables CR and MSR. The regression curves indicated two genotypes (OR-3 e FAPA-5) with stable root growth and three (OR-3, UFRGS-17 e UPF-15) with stable dry matter accumulation under organic acid stresses. The characterization of these genotypes regarding organic acid phytotoxic action is an important resource for breeding programs aiming at to develop high yielding cultivars for no-tillage or minimal tillage systems in hydromorphic soils of southern Brazil

Níveis críticos dos ácidos acético, propiônico e butírico para estudos de toxicidade em arroz em solução nutritiva Critical levels of acetic, propionic and butyric acids for toxicity studies of rice in nutrient solution

A ocorrência de condições anaeróbias nos solos hidromórficos, associada com a presença de matéria orgânica favorece o desenvolvimento de microrganismos anaeróbios que produzem substâncias fitotóxicas, principalmente ácidos orgânicos de cadeia curta. A seleção de constituições genéticas de arroz promissoras para utilização nestas situações requer avaliações de difícil execução em campo, sendo simplificada pela utilização de sistemas hidropônicos. O objetivo deste trabalho foi determinar a faixa de concentração e as respostas mais apropriadas para serem utilizadas em seleção de genótipos de arroz para tolerância a ácidos orgânicos em sistemas hidropônicos. Foram estudados os efeitos de seis concentrações dos três principais ácidos formados no solo: ácido acético (0; 4; 8; 12; 16 e 20 mM), ácido propiônico (0; 3; 6; 9; 12; e 15 mM) e ácido butírico (0; 2; 4; 6; 8 e 10 mM) em dois genótipos de elevada divergência (BRS-7-TAIM e SAIBAN). Os resultados indicam que as faixas de concentração mais adequadas para estudos de tolerância de arroz a ácidos orgânicos estão entre 8,4 e 15,8; 4,2 e 9,1 e 3,7 e 7,7 mM para os ácidos acético, propiônico e butírico respectivamente, e a variável mais responsiva foi comprimento de raízes.<br>The occurrence of anaerobic conditions in hydromorphic soils, associated with the presence of organic matter favors the development of anaerobic microorganisms that produce phytotoxic substances, especially short chain organic acids. Selection of promising rice genotypes for use under these conditions requires difficult field evaluations, which may be simplified with the use of hydroponic culture. The aim of this work was to determine the range of concentration and the dependent variables most appropriate to selecting rice genotypes for tolerance to organic acids in hydroponic culture. Six concentrations of the three main acids formed in the soil: acetic acid (0; 4; 8; 12; 16 and 20 mM), propionic acid (0; 3; 6; 9; 12; and 15 mM) and butyric acid (0; 2; 4; 6; 8 and 10 mM) and two genotypes of high divergence (BRS-7-TAIM and SAIBAN) were used. The results indicate that the most appropriate concentration ranges for studies of rice tolerance to organic acids are: 8.4 and 15.8; 4.2 and 9.1 and 3.7 and 7.7 mM for acetic, propionic and butyric acids, respectively, and the most responsive variable was root length