Image Segmentation with Multidimensional Refinement Indicators

We transpose an optimal control technique to the image segmentation problem. The idea is to consider image segmentation as a parameter estimation problem. The parameter to estimate is the color of the pixels of the image. We use the adaptive parameterization technique which builds iteratively an optimal representation of the parameter into uniform regions that form a partition of the domain, hence corresponding to a segmentation of the image. We minimize an error function during the iterations, and the partition of the image into regions is optimally driven by the gradient of this error. The resulting segmentation algorithm inherits desirable properties from its optimal control origin: soundness, robustness, and flexibility

Identification of 2D Cracks by Elastic Boundary Measurements

The purpose of this work is to identify 2D cracks by the mean of elastic boundary measurements. A uniqueness result is first proved in the general case, as well as the local lipschitzian stability in the case of line segment emergent cracks. In this last case, the search of the unique zero of the reciprocity gap functional related to the singular solution of the elasticity problem provides a fast algorithm to determine the unknown crack tip

Raffinement et de déraffinement de paramétrisation pour l'estimation de transmissivité hydraulique

Nous considérons le problème de l'estimation de transmissivités hydrauliques formulé comme la minimisation au sens des moindres carrés d'une fonctionnelle évaluant l'écart entre les hauteurs piézométriques effectivement mesurées et celles calculées par le modèle pour un jeu de transmissivités donné. Dans cet article nous cherchons une paramétrisation optimale de la transmissiv- ité supposée constante par morceaux, ce qui revient à déterminer une partition du domaine telle que la transmissivité est constante sur chaque partie de cette partition. Pour cela nous introduisons des indicateurs de raffinement et de déraffinement de la paramétrisation et nous montrons comment les utiliser

Refinement and Coarsening Indicators for Adaptive Parameterization: Application to the Estimation of Hydraulic Transmissivities

When estimating hydraulic transmissivity the question of parameterization is of great importance. The transmissivity is assumed to be a piecewise constant space dependent function and the unknowns are both the transmissivity values and the zonation, the partition of the domain whose parts correspond to the zones where the transmissivity is constant. Refinement and coarsening indicators, which are easy to compute from the gradient of the least squares misfit function, are introduced to construct iteratively the zonation and to prevent overparameterization

The multi-dimensional refinement indicators algorithm for optimal parameterization

International audienceThe estimation of distributed parameters in partial differential equations (PDE) from measures of the solution of the PDE may lead to under-determination problems. The choice of a parameterization is a usual way of adding a-priori information by reducing the number of unknowns according to the physics of the problem. The refinement indicators algorithm provides a fruitful adaptive parameterization technique that parsimoniously opens the degrees of freedom in an iterative way. We present a new general form of the refinement indicators algorithm that is applicable to the estimation of multi-dimensional parameters in any PDE. In the linear case, we state the relationship between the refinement indicator and the decrease of the usual least-squares data misfit objective function. We give numerical results in the simple case of the identity model, and this application reveals the refinement indicators algorithm as an image segmentation technique.L'estimation de paramètres distribués dans des équations aux dérivées partielles (EDP) à partir de mesures de la solution de l'EDP peut mener à des problèmes de sous-détermination. Le choix d'une paramétrisation est un moyen usuel pour ajouter de l'information a priori en réduisant le nombre d'inconnues en relation avec la physique du problème. L'algorithme des indicateurs de raffinement fourni une technique de paramétrisation adaptative fructueuse qui ouvre parcimonieusement les degrés de liberté de façon itérative. Nous présentons une nouvelle forme générale de l'algorithme des indicateurs de raffinement qui s'applique à l'estimation des paramètres multi-dimensionnels dans toute EDP. Dans le cas linéaire, nous établissons le lien entre l'indicateur de raffinement et la décroissance de la fonction objectif des moindres carrés quantifiant l'erreur aux données. Nous donnons des résultats numériques pour le cas simple du modèle identité, et cette application permet de voir l'algorithme des indicateurs de raffinement comme une technique de segmentation d'image

First-order indicators for the estimation of discrete fractures in porous media

International audienceFaults and geological barriers can drastically affect the flow patterns in porous media. Such fractures can be modeled as interfaces that interact with the surrounding matrix. We propose a new technique for the estimation of the location and hydrogeological properties of a small number of large fractures in a porous medium from given distributed pressure or flow data. At each iteration, the algorithm builds a short list of candidates by comparing fracture indicators. These indicators quantify at the first order the decrease of a data misfit function; they are cheap to compute. Then, the best candidate is picked up by minimization of the objective function for each candidate. Optimally driven by the fit to the data, the approach has the great advantage of not requiring remeshing, nor shape derivation. The stability of the algorithm is shown on a series of numerical examples representative of typical situations.Les écoulements dans les milieux poreux peuvent être radicalement modifiés par la présence de failles ou de barrières géologiques.De telles fractures peuvent être modélisées comme des interfaces qui interagissent avec la matrice environnante. Nous proposons une nouvelle technique pour l'estimation de l'emplacement et des propriétés hydrogéologiques d'un petit nombre de grandes fractures dans un milieu poreux à partir de mesures distribuées de pression ou de flux données. À chaque itération, l'algorithme construit une courte liste de candidats par comparaison d'indicateurs de fracture. Ces indicateurs quantifient au premier ordre la décroissance d'une fonctiond'écart aux données; ils sont peut coûteux à calculer. Le meilleur candidat est ensuite isolé par minimisation de la fonctionobjectif pour chaque candidat. Guidée de façon optimale par la reproduction des données, l'approche a le grand avantage de ne pas nécessiter de remaillage, ni de dérivation de forme. La stabilité de l'algorithme est montrée sur une série d'exemples numériquesreprésentatifs de situations typiques

Level Set Methods for Geometric Inverse Problems in Linear Elasticity

In this paper we investigate the regularization and numerical solution of geometric inverse problems related to linear elasticity with minimal assumptions on the geometry of the solution