Evolución paramétrica del sistema de Lorenz

En esta comunicación se estudia el comportamiento del sistema clásico de Lorenz en función de los tres par´ametros adimensionales del sistema utilizando indicadores de caos

Estudio matemático de modelos de difusión de enfermedades: Aplicación al COVID-19

Esta memoria se centra en la rama de las matemáticas que se encarga del estudio y desarrollo delos modelos epidemiológicos con el objetivo de poder predecir el posible avance de una enfermedad ytomar medidas con el fin de que sus consecuencias no sean catastróficas.En el primer capítulo se estudian algunos de los modelos matemáticos más básicos y antiguos empleados para el estudio de la evolución de una enfermedad, el modelo SIR y el modelo SEIR. Realizaremos una simulación con ambos modelos para observar como afectarían a la evolución de la enfermedadalgunas medidas de prevención como por ejemplo la cuarentena obligatoria o el uso de mascarillas.En el segundo capítulo nos centramos en el COVID-19. Se formula un modelo y se lleva a cabo unestudio analítico de este. Con tal objetivo, se introducen conceptos como la estabilidad de Lyapunov obifurcaciones.Por último, en el tercer capítulo, se lleva a cabo un estudio numérico del modelo verificando asíalgunos de los resultados dados en el capítulo anterior.<br /

Estudio de la dinámica de modelos matemáticos de neuronas

En este trabajo comenzamos estudiando los modelos matemáticos de neuronas más importantes, que son el de Hodgkin-Huxley y Hindmarsh-Rose. A continuación, veremos las bifurcaciones en sistemas dinámicos de EDOS, dando una amplia explicación de la bifurcación Fold y la bifurcación Hopf y además veremos una bifurcación global como es la Homoclínica. Para finalizar estudiaremos el fenómeno bursting de la actividad neuronal, viendo modelos de tipo fast-slow, la importancia del Primer Teorema de Fenichel y la clasificación topológica de los bursters, centrándonos en los burstings de tipo Fold-Homoclínica y Fold-Hopf.<br /

Bifurcaciones en redes dinámicas: Aplicación al estudio de redes de neuronas

El funcionamiento del cerebro es un campo de investigación que actualmente se aborda desde muchas disciplinas. Entender cómo se transmite la información en una red de neuronas nos ayudará a entender cómo se transmite la información en el cerebro. Uno de estos enfoques viene dado desde las matemáticas, suponiendo la neurona como un sistema dinámico cuyo comportamiento viene determinado por un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Uno de los modelos más utilizado es el de Hodgkin-Huxley, que con tres ecuaciones modeliza la propagación de ondas eléctricas en la neurona tras la recepción de un estímulo (potenciales de acción). Sin embargo, estudiar el comportamiento de una red de neuronas y obtener resultados analíticos, teniendo en cuenta la complejidad de su dinámica, es una tarea realmente complicada. Una de las opciones es buscar otros sistemas cuya dinámica sea más sencilla pero con la suficiente riqueza como para tener la posibilidad de encontrar en su estudio comportamientos que pueden aparecer en dinámicas más complejas, y utilizarlos como posible guía. Éste es el objetivo de este trabajo: realizaremos un análisis del sistema replicador mutador desde la perspectiva de la Teoría de Bifurcaciones para dimensión tres, que veremos que puede interpretarse como una red de tres nodos, cada uno con una dinámica determinada por una de las tres ecuaciones que forman el sistema, y, posteriormente, comprobaremos mediante un estudio cualitativo del sistema que este tipo de comportamientos también van a aparecer en una red de tres neuronas, proporcionándonos en este caso información sobre los distintos patrones de sincronización que pueden darse en dicha red

Estudio matemático de modelos de difusión de enfermedades

Este trabajo se centra en el estudio analítico y numérico de modelos de propagación de enfermedades en una población. Para ello se introducen conceptos sobre estabilidad de Lyapunov, la cual permitirá hacer un estudio exhaustivo de los modelos de propagación de enfermedades que se van a plantear. También se centra en el estudio de varios tipos de bifurcaciones, que hacen mención al cambio de comportamiento del modelo según unos parámetros establecidos. Finalmente, en el estudio del modelo más completo que ese estudia, e-SEIAR, se podrán observar unas simulaciones (usando PYTHON) que representarán los distintos casos de propagación que se pueden dar tras un tiempo determinado.<br /

Modelos matemáticos de difusión de enfermedades: influencia de perturbaciones

Este TFG se centra en el estudio de modelos epidemiológicos que tratan la propagación de enfermedades infecciosas en una población dada. Hablaremos de los diferentes modelos diferenciales de enfermedades infecciosas hasta llegar al modelo SEIR, el cual desarrollaremos con más detenimiento en el último apartado. Previamente introduciremos teoría sobre bifurcaciones de duplicación de periodo y caos para poder entender posteriormente el modelo SEIR en su totalidad. Finalmente estudiaremos de forma analítica dicho modelo (usando software como OCTAVE), y añadiremos forzamiento temporal al sistema para visualizar los cambios que se generan en el modelo.<br /

Estudio matemático de modelos nolineales de difusión y tratamiento del cáncer

El cáncer es una de las principales causas de muerte en el mundo, siendo esencial el conocimiento de su comportamiento para el desarrollo de técnicas que permitan prevenirlo y curarlo. A lo largo de este trabajo, se ha analizado un modelo cuantitativo que describe la interacción entre células efectoras del sistema inmune y células tumorales en crecimiento. Este modelo presenta cómo característica diferenciadora la consideración de células efectoras inactivas.Se observa la inmunoestimulación del crecimiento tumoral, es decir, el crecimiento de la población de células tumorales debida a la estimulación del sistema inmunitario en lugar de su supresión. Además del “escape” del tumor, referido a un fenómeno en el que los individuos cuando son desafiados a una baja dosis de células tumorales no logran tener una respuesta inmune exitosa produciendo un crecimiento tumoral progresivo; y la formación de un estado latente, que describe un estado en el que las células tumorales potencialmente letales persisten por un periodo de tiempo prolongado con poco o ningún aumento en su población.Se comprueba que el modelo representa de forma correcta la cinética de crecimiento y regresión de las células efectoras para un amplio rango inicial de concentración de células del tumor. Además, se han calculado bifurcaciones locales y globales para valores realistas de los parámetros, mostrando que puede haber una conexión entre los fenómenos de inmunoestimulación del crecimiento tumoral, “escape” del tumor, y la formación del estado tumoral latente.Finalmente, cabe notar los resultados esperanzadores que aportan modelos matemáticos como el estudiado en este trabajo en el tratamiento del cáncer para lograr conocer mejor el comportamiento de un tumor y de esta forma implementar tratamientos más especializados y eficaces para luchar contra el cáncer.<br /

Estudio de la dinámica de modelos matemáticos de neuronas

En este trabajo estudiamos los principales modelos matemáticos de neuronas (Hodgkin-Huxley y Hindmarsh-Rose). Después analizamos las bifurcaciones en sistemas dinámicos de EDOS, centrándonos en la bifurcación silla-nodo y en la bifurcación de Andronov-Hopf, realizando un extenso análisis de las formas normales de ambas. Y por último estudiamos el fenómeno bursting en la actividad neuronal, mediante modelos tipo fast-slow como el Hodgkin-Huxley; para ello comentamos el primer teorema de Fenichel y la clasificación topológica de los bursters.<br /

Modelización matemática de enfermaedades

Una de las ramas de las matemáticas que mayor auge ha experimentado en los últimos años es la biomatemática; consistente en la modelización y el estudio matemático, de forma seria y rigurosa, de fenómenos que se observan en biología. Éste TFG se centra en uno de los fenómenos de mayor interés dentro de este campo: el estudio de la propagación de enfermedades en una población dada. La previsión y el conocimieno de las propagación de enfermedades tiene un gran interés en diversas ramas como la medicina, la biología o la economía. El objetivo de este TFG es estudiar de forma analítica y aproximar de forma numérica la evolución de algunas enfermedades en diversas poblaciónes. La principal herramienta que utilizaremos para ello serán los modelos diferenciales, es decir, sistemas modelados mediante un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Se procederá a la resolución numérica de dichos sitemas (usando software como OCTAVE). Además, también estudiaremos de forma analítica las propiedades cualitativas de dichos modelos, tratando de dilucidar cuales son las propiedades clave del modelo que generan cambios en el modelo real

Estudio matemático de modelos no lineales de difusión y tratamiento del cáncer

Estudio matemático del modelo no lineal de Kuznetsov y Taylor sobre la interacción entre células cancerígenas y el sistema inmunitario. Análisis de estabilidad y bifurcaciones concluido con posibles extensiones del sistema aplicando inmunoterapia y quimioterapia.<br /