Hedging unter Ganzzahligkeits-Bedingungen

Abweichender Titel nach Übersetzung der Verfasserin/des VerfassersDiese Arbeit befasst sich mit dem Problem des Hedges von verschiedenen Claims nach dem Minimum-Varianz-Prinzip bei der zugleich eingeführten Einschränkung auf die optimale Strategie nur aus ganzzahligen Positionen zu bestehen (integer constraint). Wir betrachen ein zeitdiskretes Modell, in dem sich die Preise nach einem multinomialen Baum entwickeln. Die optimale Integer-Strategie wird hierbei mit zwei verschiedenen Ansätzen erörtert; zunächst einem Algorithmus vom Branch and Bound Typ, einer Klasse von Algorithmen aus dem Bereich des integer programming. In einem zweiten Ansatz wird das Problem auf ein Closest-Vector-Problem zurückgeführt und dieses wird mit aus der Gittertheorie bekannten Algortihmen gelöst. Wir betrachen diese Ansätze für praktisch relevante und bekannte Modelle, das Binomialmodell und das Trinomialmodell, sowie Erweiterungen dieser beiden Modelle. Wir vergleichen hierbei die Leistungen und Resultate der zwei vorgestellten Algortihmen mit der naiven Herangehensweise, dem Runden der klassischen Strategie. Zu guter Letzt analysieren wir die optimale Integer-Hedging-Strategie im Binomialmodell etwas genauer und betrachten hierbei ob sich im Grenzfall eine Konvergenz zur klassischen Strategie beobachten lässt.We study the problem of hedging claims under a minimum variance criterion and with respect to integer constraints. The model we use is a discrete time model where the price states evolve as multinomial trees. The optimal hedging strategy is then derived by two different approaches; first a Branch and Bound type algorithm is employed to obtain an integer solution. In a second approach we rewrite the problem as a closest vector problem and use this algorithm from lattice theory to compute an optimal strategy. We will present the solutions for the classical binomial model and also for the trinomial model, which are the most well known discrete time tree models. The outcome of these approaches are compared with the naive idea of simply rounding the strategy to next integer to see if it is possible to improve the solution. Finally we analyze the integer strategy in the binomial model in more detail, where we inspect the limiting behaviour of the strategy numerically.6