On the stability of almost periodic systems

The objects studied are almost periodic in the sense of Bohr’s non-autonomous systems of ordinary differential equations. We offer a solution to the problems of stability of motion on the basis of second Lyapunov method in the class of semidefinite subsidiary functions. We give suffcient conditions for solving the following problems: stability, asymptotic stability (local and global) and instability. The presented results of the stability theory of motion generalize some known results A. M. Lyapunov, N. G. Chetaev, E. A. Barbashin and N. N. Krasovskii for this type of non-autonomous differential equations. Each of the statements is accompanied by illustrative example that confi rms the advantages of the use of semidefinite functions compared with the definite functions of Lyapunov. = Целью исследований являются почти периодические по времени в смысле Бора системы обыкновенных неавтономных дифференциальных уравнений. Предлагается решение проблем устойчивости движения на основе развития второго метода Ляпунова в классе знакопостоянных вспомогательных функций. Получены достаточные условия решения следующих задач: устойчивость, асимптотическая устойчивость (локальная и глобальная) и неустойчивость состояния равновесия. Представленные результаты теории устойчивости обобщают и дополняют известные результаты А. М. Ляпунова, Н. Г. Четаева, Е. А. Барбашина и Н. Н. Красовского для рассматриваемого типа неавтономных дифференциальных уравнений. Каждое из утверждений сопровождается иллюстрирующим примером, подтверждающим преимущества использования знакопостоянных функций по сравнению со знакоопределенными функциями Ляпунова

On the pseudo-stability of semidynamical systems

Введено свойство псевдоустойчивости как необходимое условие орбитальной устойчивости замкнутых инвариантных множеств полудинамических систем на произвольном метрическом пространстве. Приведена классификация устойчивоподобных свойств в форме диаграммы, которая отражает взаимоотношения псевдоустойчивости и равномерной псевдоустойчивости с известными характеристиками качественной теории устойчивости полудинамических систем (инвариантность, устойчивость, притяжение и их модификации). Установлена связь между понятием псевдоустойчивости и определением первого интеграла полудинамической системы. Сформулированы критерии псевдоустойчивости в форме достаточных условий с использованием определенно положительных и знакопостоянных функций Ляпунова. Даны комментарии к результатам на иллюстративных примерах. = Pseudo-stability property is introduced as a necessary condition of the orbital stability of closed positively invariant sets of semidynamical systems defined on an arbitrary metric space. We give a classification of stability-like properties in the form of a diagram. The diagram reflects the relationship between pseudo-stability and uniform pseudo-stability with known characteristics of qualitative stability theory of motion of semidynamical systems (invariance, stability, attraction and their modifications). We establish particular connection between the pseudo-stability notion and first integrals of semidynamical systems. The criteria of pseudo-stability are formulated and sufficient conditions for this property with positive definite and semidefinite Lyapunov functions are provided. We also give comments on the results with a number of illustrating examples

On the stability of gradient-like systems

Качественная теория дифференциальных уравнени

On the stability of almost periodic systems

The objects studied are almost periodic in the sense of Bohr’s non-autonomous systems of ordinary differential equations. We offer a solution to the problems of stability of motion on the basis of second Lyapunov method in the class of semidefinite subsidiary functions. We give suffcient conditions for solving the following problems: stability, asymptotic stability (local and global) and instability. The presented results of the stability theory of motion generalize some known results A. M. Lyapunov, N. G. Chetaev, E. A. Barbashin and N. N. Krasovskii for this type of non-autonomous differential equations. Each of the statements is accompanied by illustrative example that confi rms the advantages of the use of semidefinite functions compared with the definite functions of Lyapunov. = Целью исследований являются почти периодические по времени в смысле Бора системы обыкновенных неавтономных дифференциальных уравнений. Предлагается решение проблем устойчивости движения на основе развития второго метода Ляпунова в классе знакопостоянных вспомогательных функций. Получены достаточные условия решения следующих задач: устойчивость, асимптотическая устойчивость (локальная и глобальная) и неустойчивость состояния равновесия. Представленные результаты теории устойчивости обобщают и дополняют известные результаты А. М. Ляпунова, Н. Г. Четаева, Е. А. Барбашина и Н. Н. Красовского для рассматриваемого типа неавтономных дифференциальных уравнений. Каждое из утверждений сопровождается иллюстрирующим примером, подтверждающим преимущества использования знакопостоянных функций по сравнению со знакоопределенными функциями Ляпунова

Об асимптотической устойчивости в полудинамических системах / Б. С. Калитин

This article discusses the problems of the qualitative stability theory of motion of semidynamical systems, defined by an arbitrary metric space. We study the properties of stability, attraction, asymptotic stability and domain of attraction of a compact invariant set M, where attention is paid to the behavior of semi-trajectories of system in the neighborhood of M. In particular, the necessary conditions of stability and instability properties are set. We have formulated criteria for asymptotic stability and domain of attraction. The theorem on the alternative properties of weak attractor is proved. The results are obtained using the property of asymptotic compactness of semidynamic system, in a certain neighborhood of M. An example of the attractive but unstable compact invariant set is given. = Рассмотрены проблемы качественной теории устойчивости движения полудинамических систем, определяемых на произвольном метрическом пространстве. Исследуются свойства устойчивости, притяжения, асимптотической устойчивости и области притяжения компактного инвариантного множества M. Изучено поведение полутраекторий системы в окрестности M, в частности, установлены необходимые условия свойств устойчивости и неустойчивости. Сформулированы критерии асимптотической устойчивости и области притяжения. Доказана теорема об альтернативных свойствах слабого аттрактора. Результаты получены путем использования свойства асимптотической компактности полудинамической системы в некоторой окрестности M. Приведен пример притягивающего, но неустойчивого компактного инвариантного множества

On the pseudo-stability of semidynamical systems

Введено свойство псевдоустойчивости как необходимое условие орбитальной устойчивости замкнутых инвариантных множеств полудинамических систем на произвольном метрическом пространстве. Приведена классификация устойчивоподобных свойств в форме диаграммы, которая отражает взаимоотношения псевдоустойчивости и равномерной псевдоустойчивости с известными характеристиками качественной теории устойчивости полудинамических систем (инвариантность, устойчивость, притяжение и их модификации). Установлена связь между понятием псевдоустойчивости и определением первого интеграла полудинамической системы. Сформулированы критерии псевдоустойчивости в форме достаточных условий с использованием определенно положительных и знакопостоянных функций Ляпунова. Даны комментарии к результатам на иллюстративных примерах. = Pseudo-stability property is introduced as a necessary condition of the orbital stability of closed positively invariant sets of semidynamical systems defined on an arbitrary metric space. We give a classification of stability-like properties in the form of a diagram. The diagram reflects the relationship between pseudo-stability and uniform pseudo-stability with known characteristics of qualitative stability theory of motion of semidynamical systems (invariance, stability, attraction and their modifications). We establish particular connection between the pseudo-stability notion and first integrals of semidynamical systems. The criteria of pseudo-stability are formulated and sufficient conditions for this property with positive definite and semidefinite Lyapunov functions are provided. We also give comments on the results with a number of illustrating examples

О динамике дохода предприятия при экстенсивном пути развития / Б. С. Калитин, Е. С. Боголюбская-Синякова

The paper explores the possibilities of using extended production and trade in the commodity market. The results are obtained on the basis of a certain economic-mathematical model that allows to express the producerʼs net proceeds through essential market parameters. These include: the price and volume of sales of goods or services, the absolute value of the coefficient of price elasticity of demand, the inflation rate, the coefficient of production costs and the level of the tax rate. The strengths and weaknesses of trade in the conditions of extended production are revealed. An analysis of the conditions which, on the basis of the law of demand, ensure the growth of net proceeds from the sale of products is given. The best ways of implementing the extensive way of enterprise development are indicated. = Исследуются возможности использования расширенного производства и торговли на товарном рынке. Результаты получены на основе построения определенной экономико-математической модели, позволяющей выразить выручку-нетто производителя через существенные параметры рынка, а именно: цену и объем продаж товара или оказываемой услуги, абсолютную величину коэффициента ценовой эластичности спроса, коэффициент инфляции за рассматриваемый период времени, коэффициент издержек производства и уровень налоговой ставки. Выявлены сильные и слабые стороны торговли в условиях расширенного производства. Проанализированы условия, которые на основе закона спроса обеспечивают рост выручки-нетто от реализации продукции. Указаны наилучшие способы реализации экстенсивного пути развития предприятия

On the stability of gradient-like systems

Качественная теория дифференциальных уравнени

О динамике дохода предприятия при экстенсивном пути развития / Б. С. Калитин, Е. С. Боголюбская-Синякова

The paper explores the possibilities of using extended production and trade in the commodity market. The results are obtained on the basis of a certain economic-mathematical model that allows to express the producerʼs net proceeds through essential market parameters. These include: the price and volume of sales of goods or services, the absolute value of the coefficient of price elasticity of demand, the inflation rate, the coefficient of production costs and the level of the tax rate. The strengths and weaknesses of trade in the conditions of extended production are revealed. An analysis of the conditions which, on the basis of the law of demand, ensure the growth of net proceeds from the sale of products is given. The best ways of implementing the extensive way of enterprise development are indicated. = Исследуются возможности использования расширенного производства и торговли на товарном рынке. Результаты получены на основе построения определенной экономико-математической модели, позволяющей выразить выручку-нетто производителя через существенные параметры рынка, а именно: цену и объем продаж товара или оказываемой услуги, абсолютную величину коэффициента ценовой эластичности спроса, коэффициент инфляции за рассматриваемый период времени, коэффициент издержек производства и уровень налоговой ставки. Выявлены сильные и слабые стороны торговли в условиях расширенного производства. Проанализированы условия, которые на основе закона спроса обеспечивают рост выручки-нетто от реализации продукции. Указаны наилучшие способы реализации экстенсивного пути развития предприятия