Generalized Fibonacci Numbers and Blackwell's Renewal Theorem

We investigate a connection between generalized Fibonacci numbers and renewal theory for stochastic processes. Using Blackwell's renewal theorem we find an approximation to the generalized Fibonacci numbers. With the help of error estimates in the renewal theorem we figure out an explicit representation

Ein neuartiger Zugang zur Implementierung historischer Geräte und Experimente im Unterricht

Im Rahmen des Aufsatzes werden die Ergebnisse des Projektes Galilei, einer Initiative des Institutes für mathematische, naturwissenschaftliche und technische Bildung an der Universität Flensburg, vorgestellt. Im Fokus stehen dabei theoretische Begründungszusammenhänge der Projektarbeit, konzeptionelle Merkmale der Implementierung, die Ergebnisse der Evaluation und sich ergebende Weiterentwicklungsmöglichkeiten. Theoretisch wird dabei wesentlich auf das Konzept der Elementarerfahrungen (vgl. Fiesser 2005) und den Ansatz des historisch-genetischen Unterrichts (vgl. Pukies 1979) verwiesen. Zur Implementierung wird ein zweistufiges Vorgehen vorgeschlagen in dessen Kontext die Geräte zunächst gemeinsam mit den Schülerinnen und Schülern gebaut und sowohl theoretisch als auch historisch reflektiert wurden. Darauf aufbauend stehen die fertigen Geräte für den Regelunterricht der Sekundarstufe I zur Verfügung. Im Rahmen der Projektevaluation zeigten sich sowohl aus der Perspektive der Schülerinnen und Schüler als auch aus der Sicht der beteiligten Lehrkräfte weitgehend positive Ergebnisse. An einigen Stellen ergibt sich aber auch Modifikationsbedarf, der in folgenden Projektphasen umgesetzt werden soll. Weiterführende Ideen beziehen sich unter anderem auf das Konzept der narrativen Didaktik (vgl. Kubli 2002), welches einen konzeptionellen Rahmen zur theoretischen und historischen Reflexion der Geräte im Anschluss an deren Bau bieten kann

Ein neuartiger Zugang zur Implementierung historischer Geräte und Experimente im Unterricht

Im Rahmen des Aufsatzes werden die Ergebnisse des Projektes Galilei, einer Initiative des Institutes für mathematische, naturwissenschaftliche und technische Bildung an der Universität Flensburg, vorgestellt. Im Fokus stehen dabei theoretische Begründungszusammenhänge der Projektarbeit, konzeptionelle Merkmale der Implementierung, die Ergebnisse der Evaluation und sich ergebende Weiterentwicklungsmöglichkeiten. Theoretisch wird dabei wesentlich auf das Konzept der Elementarerfahrungen (vgl. Fiesser 2005) und den Ansatz des historisch-genetischen Unterrichts (vgl. Pukies 1979) verwiesen. Zur Implementierung wird ein zweistufiges Vorgehen vorgeschlagen in dessen Kontext die Geräte zunächst gemeinsam mit den Schülerinnen und Schülern gebaut und sowohl theoretisch als auch historisch reflektiert wurden. Darauf aufbauend stehen die fertigen Geräte für den Regelunterricht der Sekundarstufe I zur Verfügung. Im Rahmen der Projektevaluation zeigten sich sowohl aus der Perspektive der Schülerinnen und Schüler als auch aus der Sicht der beteiligten Lehrkräfte weitgehend positive Ergebnisse. An einigen Stellen ergibt sich aber auch Modifikationsbedarf, der in folgenden Projektphasen umgesetzt werden soll. Weiterführende Ideen beziehen sich unter anderem auf das Konzept der narrativen Didaktik (vgl. Kubli 2002), welches einen konzeptionellen Rahmen zur theoretischen und historischen Reflexion der Geräte im Anschluss an deren Bau bieten kann

A probabilistic look at the Wiener-Hopf equation

Existence, uniqueness, and asymptotic properties of solutions Z to the Wiener-Hopf integral equation Z(x) = z(x) + integral(-infinity)(x) Z(x - y)F(dy), x greater than or equal to 0, are discussed by purely probabilistic methods, involving random walks, supermartingales, coupling, the Hewitt-Savage 0-1 law, ladder heights, and exponential change of measure

Large deviations in rare events simulation: examples, counterexamples and alternatives

When simulating small probabilities, say of order 10-6 or less, by importance sampling, an established principle is to choose the importance sampling distribution as close to the conditional distribution given the rare event as possible. Implementing this often leads into large deviations calculations and exponential change of measure. We survey some of the standard examples where this approach works and supplement existing counterexamples with new ones. Difficulties often arise as consequence of reflecting barriers and we present an algorithm which at least in simple cases is able to deal with this problem. Also the case of heavy-tailed distributions is considere

Subexponential asymptotics for stochastic processes : extremal behavior, stationary distributions and first passage probabilities

Consider a reflected random walk Wn+1 = (W-n +X-n)(+), where X-o, X-1,... are i.i.d. with negative mean and subexponential with common distribution F. It is shown that the probability that the maximum within a regenerative cycle with mean mu exceeds x is approximately mu (F) over bar(x) as x --> infinity, and thereby that max (W-o,..., W-n) has the same asymptotics as max(X-o,...,X-n) as n --> infinity. In particular, the extremal index is shown to be theta = 0, and the point process of exceedances of a large level is studied. The analysis extends to reflected Levy processes in continuous time, say, stable processes. Similar results are obtained for a storage process with release rate r(x) at level x and subexponential jumps (here the extremal index may he any value in [0, infinity]); also the tail of the stationary distribution is found. For a risk process with premium rate r(x) at level x and subexponential claims, the asymptotic form of the infinite-horizon ruin probability is determined. It is also shown by example [r(x) = a + bx and claims with a tail which is either regularly varying, Weibull- or lognormal-like] that this leads to approximations for finite-horizon ruin probabilities. Typically, the conditional distribution of the ruin time given eventual ruin is asymptotically exponential when properly normalized

Extreme value theory for queues via cycle maxima

The present state of extreme value theory for queues is surveyed. The exposition focuses on the regenerative properties of queueing systems, which reduces the problem to the study of the tail of the maximum $overline X( au)$ of the queueing process ${X(t)}$ during a regenerative cycle $au$. For simple queues, methods for obtaining the distribution of $overline X( au)$ both explicitly and asymptotically are reviewed. In greater generality, the study leads to Wiener-Hopf problems. Extensions to queues in a Markov regime, for example, to those governed by Markov-modulated Poisson arrivals, are also considered

Loss rates for Lévy processes with two reflecting barriers

Let {Xt} be a Lévy process which is reflected at 0 and K>0. The reflected process {VtK} is constructed as VtK = V0K + Xt + Lt0 - LtK where{Lt0} and {LtK} are the local times at 0 and K, respectively. We consider the loss rate lK, defined by lK=E KL1K where E K is the expectation under the stationary measure K. The main result of the paper is the identification of lK in terms of K and the characteristic triplet of {Xt}. We also derive asymptotics of lK as K when EXt <0 and the Lévy measure of {Xt} is light-tailed