One-Loop Calculations and Detailed Analysis of the Localized Non-Commutative 1/p**2 U(1) Gauge Model

This paper carries forward a series of articles describing our enterprise to construct a gauge equivalent for the $\theta$-deformed non-commutative $p^{-2}$ model originally introduced by Gurau et al. arXiv:0802.0791. It is shown that breaking terms of the form used by Vilar et al. arXiv:0902.2956 and ourselves arXiv:0901.1681 to localize the BRST covariant operator $(D^2\theta^2D^2)^{-1}$ lead to difficulties concerning renormalization. The reason is that this dimensionless operator is invariant with respect to any symmetry of the model, and can be inserted to arbitrary power. In the present article we discuss explicit one-loop calculations, and analyze the mechanism the mentioned problems originate from.Comment: v2: minor corrections and references added; v3: published versio

On Non-Commutative U*(1) Gauge Models and Renormalizability

Based on our recent findings regarding (non-)renormalizability of non-commutative U*(1) gauge theories [arxiv:0908.0467, arxiv:0908.1743] we present the construction of a new type of model. By introducing a soft breaking term in such a way that only the bilinear part of the action is modified, no interaction between the gauge sector and auxiliary fields occurs. Demanding in addition that the latter form BRST doublet structures, this leads to a minimally altered non-commutative U*(1) gauge model featuring an IR damping behavior. Moreover, the new breaking term is shown to provide the necessary structure in order to absorb the inevitable quadratic IR divergences appearing at one-loop level in theories of this kind. In the present paper we compute Feynman rules, symmetries and results for the vacuum polarization together with the one-loop renormalization of the gauge boson propagator and the three-point functions.Comment: 20 pages, 4 figures; v2-v4: clarified several points, and minor correction

One-Loop Calculations for a Translation Invariant Non-Commutative Gauge Model

In this paper we discuss one-loop results for the translation invariant non-commutative gauge field model we recently introduced in arXiv:0804.1914. This model relies on the addition of some carefully chosen extra terms in the action which mix long and short scales in order to circumvent the infamous UV/IR mixing, and were motivated by the renormalizable non-commutative scalar model of Gurau et al. (cf. arXiv:0802.0791).Comment: 18 pages, v2: minor correction

Investigations on the renormalizability of a non-commutative U(1) gauge theory

Zsfassung in dt. SpracheBei Betrachtung sehr kleiner Skalen in der Nähe der Planck Länge oder - äquivalent dazu - sehr hoher Energien (weit höher als jene, welche durch die heutigen Teilchenbeschleuniger erreicht werden), erwartet man, dass die Raumzeit eine quantisierte Struktur aufweist. Mit Ausnahme der Gravitation können heute alle fundamentalen Naturkräfte durch Quantenfeldtheorien (QFT's), im speziellen durch Eichfeldtheorien, beschrieben werden. Deren Herzstück sind die Renormierungsverfahren, die es erst ermögichen, die Divergenzen, welche bei der perturbativen Entwicklung der das Modell repräsentierenden Wirkung auftreten und durch hohe interne Impulse verursacht werden, in einer konsistenten Art und Weise zu behandeln. In den letzten Jahren wurden zahlreiche Versuche unternommen, eine konsistente und renormierbare Theorie auch für nicht-kommutative Geometrien zu formulieren. Jedoch ist es v.a.letztgenannter Punkt, welcher eines der bedeutendsten Probleme der Quantenfeldtheorien darstellt: ganz allgemein wird die Nicht-Kommutativität der Raum(zeit) durch das sogenannte Sternprodukt implementiert, im einfachsten Fall durch das Moyal-Weyl-Produkt. Dieses führt zu einer zusätzlichen Phase in den Vertizes, welche vom nicht-kommutativen Parameter theta abhängt, und in Folge zu einer Modifikation des Wechselwirkungsanteils der Theorie. Des Weiteren bewirkt diese Phase ein Mischen von hohen und niedrigen Energien, welche direkt mit dem in Erscheinung treten einer neuen Klasse von Divergenzen für niedrige Energien verknüpft ist. Während es eine Reihe diverser Renormierungsschemata für die im Ultravioletten (UV) auftretenden Divergenzen gibt, stellen deren Gegenspieler im infraroten (IR) Sektor das vielleicht größte Hindernis bei der Formulierung einer konsistenten theta-deformierten Quantenfeldtheorie dar. Ein erster Ausweg aus dieser misslichen Lage konnte für ein skalares Modell durch Grosse und Wulkenhaar aufgezeigt werden, und zwar durch die Einführung eines geeigneten Zusatzterms - in diesem Fall eines Oszillatorterm - in der Wirkung, welcher zu einer Entkopplung des UV und IR Sektors führt.Dieselbe Vorgangsweise wurde auch von Gurau et. al. umgesetzt, welche einen Term der Form 1/p 2 zu der skalaren Wirkung hinzufügten. Für beide Modelle konnte Renormierbarkeit gezeigt werden. Das letztgenannte Modell führt des Weiteren zu einem translationsinvarianten Eichfeldpropagator, was Impulserhaltung in jedem Raumpunkt impliziert. Wie bereits erwähnt basiert das Standardmodell auf der Formulierung entsprechender Eichfeldtheorien. Es ist daher essentiell, zu einer Formulierung entsprechender renormierbarer Modelle auch im Nicht-Kommutativen zu gelangen. Damit sind auch Ziel und Inhalt dieser Dissertation umrissen, welche in dem Versuch der Formulierung einer renormierbaren, theta-deformierten U(1) Eichtheorie besteht. In einem ersten Schritt wurde eine lokalisierte Version eines Modells einer gründlichen Analyse unterzogen, welches eine nicht-kommutative Verallgemeinerung der (im Euklidischen formulierten) üblichen U(1) Eichtheorie darstellt. Es basiert auf der Einführung eines dem von Gurau et. al. analogen Terms, welcher in Folge zu einem für niedrige Energien gedämpften Eichbosonpropagator führt. Im Rahmen von perturbativen Berechnungen auf 1-Loop Niveau konnten wir zeigen, dass diese Wirkung zu zusätzlichen physikalischen Freiheitsgraden und damit einer Modifikation der Physik führt. Ein Ausweg konnte in aufgezeigt werden. In der dort vorgestellten Wirkung konnte die Modifikation des IR-Sektors durch die Einführung eines sogenannten "soft breaking" Terms erreicht werden, analog zum Gribov-Zwanziger Verfahren, welches uns von der kommutativen Yang-Mills Theorie her bekannt ist. In Folge wurde der Versuch der 1-Loop Renormierung unternommen, welcher jedoch ohne Erfolg war. Der Grund hierfür ist das Fehlen geeigneter Terme in der Wirkung, welche die Absorption der IR-Divergenzen erlauben würde. Üblicherweise wird man in diesem Fall den Versuch unternehmen, eine sogenannte effektive Wirkung zu konstruieren, welche renormierbar sein soll. Dies wird durch die Anwendung von Renormierungsschemata wie z.B. der Algebraischen Renormierung erreicht, welche in diesem Fall jedoch nicht angewandt werden kann, aufgrund der inhärenten Nicht-Lokalität des Stern-Produkts.Ideen bezüglich der Anwendbarkeit und möglichen Erweiterung bestehender Renormeriungsschemata auf nicht-kommutative Eichfeldtheorien wurden diskutiert. Schlussendlich wurde eine neue Wirkung konstruiert (das sogenannte BRSW Model), für welches 1-Loop Renormierbarkeit gezeigt werden konnte. Obwohl ein strenger Beweis noch ausständig ist, denken wir, dass es sich hierbei um einen vielversprechenden Kandidaten einer ersten vollständig renormierbaren nicht-kommutativen U(1) Eichtheorie handelt.When considering very small scales near the Planck-length, or equivalently very high energies (far from being reached by today's particle accelerators), space-time is expected to be quantized. Today, all but one forces governing nature (i.e. gravitation) are described via Quantum Field Theories (short QFTs) and more precisely gauge field theories (GFTs). Their heart is the art of renormalization, which allows to handle the divergences for high internal momenta appearing in the course of the perturbative development of the action in a consistent manner. Over the last years numerous attempts have been made to formulate consistent and renormalizable theories also on non-commutative spaces. Yet, it is the latter that represents a major problem for non-commutative QFTs: generally, the non-commutativity is implemented via the so-called star product, which in the simplest case is given by the Moyal-Weyl product, and which leads to a modification of the interaction terms of the theories by introducing additional phase factors depending on the non-commutative parameter theta. Then, this phase leads to a mixing of high and low energies, which is directly linked to the appearance of a new class of divergences for small momenta. While there exist various traditional renormalization schemes in order to handle UV divergences, their counterparts in the IR sector form a major obstacle in formulating consistent non-commutative QFTs.However, a first way out of this misery could be achieved by Grosse and Wulkenhaar for a scalar model. The idea was to add a suitable term to the action, in their case an oscillator term, leading to a decoupling of the high and low energy sectors. Later, the same philosophy has been followed by Gurau et. al. by adding a 1/p 2 like term to the scalar action. Both models have been shown to be renormalizable, and additionally, the latter model leads to a translation invariant propagator, which implies momentum conservation in all space points.Now, the standard model is formulated via gauge field theories. It is therefore crucial to find their non-commutative, renormalizable counterparts. Having said this we have already addressed the goal and content of this dissertation, which consists in finding a potentially renormalizable theta-deformed U(1) gauge theory. In a first step, we studied in detail a localized version of a model, which represents an extension of ordinary U(1) gauge theory (formulated on Euclidean space) to the non-commutative setting, and is based on adding a term similar to the one of Gurau et. al., leading to an IR-damped gauge boson propagator. In the course of one-loop calculations, we have shown that it implements additional degrees of freedom and hence modifies the original physical content of the theory.A way out was found by implementing the modification of the IR sector through the introduction of a soft breaking term similar to the approach of Gribov and Zwanziger known from commutative Yang Mills theory.However, when trying to show renormalizability at one-loop level, it turned out that the action does not contain the appropriate terms for absorbing the IR divergences. Usually, in such cases one constructs an effective renormalizable action via application of renormalization schemes such as Algebraic Renormalization, which in this case fails, due to the inherent non-locality of the star product. As a consequence, some ideas regarding the applicability and possible extension of traditional renormalization schemes to non-commutative GFTs have been discussed.Finally a new action (the BRSW model) was constructed. It could be shown to be renormalizable to one-loop order. Although a rigorous proof is still missing, we expect it to be a very promising candidate for the first fully renormalizable non-commutative gauge field theory.16

One-loop calculations and detailed analysis of the localized non-commutative p-2 U(1) Gauge model

This paper carries forward a series of articles describing our enterprise to construct a gauge equivalent for the θ-deformed non-commutative 1/p2 model originally introduced by Gurau et al. [Comm. Math. Phys. 287 (2009), 275-290]. It is shown that breaking terms of the form used by Vilar et al. [J. Phys. A: Math. Theor. 43 (2010), 135401, 13 pages] and ourselves [Eur. Phys. J. C: Part. Fields 62 (2009), 433-443] to localize the BRST covariant operator(D2 θ2D2)-1 lead to difficulties concerning renormalization. The reason is that this dimensionless operator is invariant with respect to any symmetry of the model, and can be inserted to arbitrary power. In the present article we discuss explicit one-loop calculations, and analyze the mechanism the mentioned problems originate from

Improved localization of a renormalizable non-commutative translation invariant U(1) gauge model

Motivated by the recent work of Vilar et al. (arXiv:0902.2956) we enhance our non-commutative translation invariant gauge model (Blaschke D. N. et al., arXiv:0901.1681) by introducing auxiliary fields and ghosts forming a BRST doublet structure. In this way localization of the problematic 1/D2 term can be achieved without the necessity for any additional degrees of freedom. The resulting theory is suspected to be renormalizable. A rigorous proof, however, has not been accomplished up to now