Large Supports are required for Well-Supported Nash Equilibria

We prove that for any constant $k$ and any $\epsilon<1$, there exist bimatrix win-lose games for which every $\epsilon$-WSNE requires supports of cardinality greater than $k$. To do this, we provide a graph-theoretic characterization of win-lose games that possess $\epsilon$-WSNE with constant cardinality supports. We then apply a result in additive number theory of Haight to construct win-lose games that do not satisfy the requirements of the characterization. These constructions disprove graph theoretic conjectures of Daskalakis, Mehta and Papadimitriou, and Myers

Approximate well supported nash equilibria in win-lose bimatrix games

In this thesis, we study ε-well supported Nash equilibria (ε-WSNE) in two player normal-form games. In an ε-WSNE, every pure strategy that is played with positive probability must have an expected payoff within ε of the best response payoff. These can be viewed as combinatorial relaxations of exact Nash equilibria, and this thesis examines the structure of ε-WSNE via the use of a graphical representation of win-lose games. Our main result states that to obtain ε-WSNE with an approximation guarantee better than ⅔ the players must use mixed strategies whose supports have polylogarithmic cardinality. In addition, we show that, to obtain any non-trivial approximation guarantee requires supports of cardinality at least three. Finally, we use the graphical representation to provide a characterization of when a win-lose game has an ε-WSNE with both good approximation guarantee and small cardinality supports.Dans cette thèse, nous étudions les ε-Equilibres de Nash bien supportés (E-ENBS) dans des jeux de forme-normale à deux joueurs. Dans un ε-ENBS, chaque stratégie pure jouée avec probabilité positive doit avoir une récompense attendue à l'intérieur d'un intervalle de E de la meilleure récompense de réponse. Ceux-ci peuvent être considérés comme des relaxations combinatoires d'équilibres de Nash exacts; et cette thèse examine la structure d'ε-ENBS à travers l'utilisation d'une représentation graphique des jeux gagnant-perdant. Notre résultat principal stipule que, pour obtenir des ε-ENBS avec une garantie d 'approximation meilleure que ⅔ les joueurs doivent utiliser des stratégies mixtes dont les supports ont une cardinalité polylogarithmique. En outre, nous montrons que, pour obtenir toute garantie d'approximation non-triviale, nous avons besoin d 'au moins trois supports de cardinalité. Enfin, nous utilisons la représentation graphique pour fournir une caractérisation du cas ou un jeu gagnant-perdant a un ε-ENBS avec à la fois une bonne garantie d'approximation et des petits supports de cardinalité